加筆(複素数の平方根の解説 追加加筆)：2015/09/15
追加(組合せの解説)：2012/11/25
参考文献追加(代数学講義　改訂新版)：2012/06/29
リンク更新(国立国会図書館サーチ（NDL Search）)：2012/02/21
リンク追加(CiNii Books)：2012/01/05
追加(著作権表記)：2011/07/30
修正(内部書式)：2011/07/30
リンク更新(日本図書館協会):2011/07/13
加筆(図書館のリンク・検索)：2011/06/18
編集(３次方程式の根と係数の関係部の表現変更)：2011/02/13
編集(複素数の自乗の平方根の注意追加)：2011/02/10
編集(「参考文献より引用」部の注意２追加)：2010/11/25
編集(2乗上付文字修飾もれ修正)：2010/09/07
編集(一部修正)：2010/07/06
編集(追加)：2010/06/04
編集(追加)：2010/05/08
作成：2010/04/08

     
 
４次方程式の解 オイラーの方法 の解説
 
                       
      ４次方程式 f(X)      
            f(X) = K4*X4 +K3*X3 +K2*X2 +K1*X +K0
 
  係数 K4, K3, K2, K1, K0 は実数とする
  ただし、K4≠0 とする
      
                       
      ４次方程式の解 f(X) = 0 を解く      
            K4*X4 +K3*X3 +K2*X2 +K1*X +K0  = 0      
                       
      正規化 （両辺をK4で割る）      
            X4 +(K3/K4)*X3 +(K2/K4)*X2 +(K1/K4)*X +(K0/K4)  = 0      
                       
      係数の置き換え      
            X4 +A*X3 +B*X2 +C*X +D = 0
  ここに、
    A = K3/K4
    B = K2/K4
    C = K1/K4
    D = K0/K4		      
                       
      X = Y-A/4 とおき、３次の係数がない式に変形する      
            (Y-A/4)4 +A*(Y-A/4)3 +B*(Y-A/4)2 +C*(Y-A/4) +D = 0      
                       
            (Y2-2*Y*(A/4)+(A/4)2)2
+A*(Y2-2*Y*(A/4)+(A/4)2)(Y-A/4)
+B*(Y2-2*Y*(A/4)+(A/4)2)
+C*(Y-A/4)
+D = 0 		     
                       
            Y4
+(-2*Y*(A/4))2 +(A/4)4 +2*(-2*Y*(A/4))*(A/4)2 +2*(A/4)2*Y2 +2*Y2*(-2*Y*(A/4))
+A*(Y2 *Y-2*Y*(A/4)*Y+(A/4)2*Y +Y2*(-A/4) -2*Y*(A/4)(-A/4)+(A/4)2(-A/4))
+(B*Y2 -2*B*Y*(A/4)+B*(A/4)2)
+(C*Y-C*(A/4))
+D = 0 		     
                       
            Y4
+4*(A/4)2*Y2 +(A/4)4 -4*(A/4)3*Y +2*(A/4)2*Y2 -4*(A/4)*Y3
+A*(Y3 -2*(A/4)*Y2 +(A/4)2*Y -(A/4)*Y2 +2*(A/4)2 *Y-(A/4)3)
+(B*Y 2 -2*B*Y*(A/4)+B*(A/4)2)
+(C*Y-C*(A/4))
+D = 0 		     
                       
            Y4
+4*(A/4)2*Y2 +(A/4)4 -4*(A/4)3*Y +2*(A/4)2*Y2 -4*(A/4)*Y3
+(A*Y3 -2*A*(A/4)*Y2 +A*(A/4)2*Y -A*(A/4)*Y2 +2*A*(A/4)2*Y-A*(A/4)3)
+(B*Y2 -2*B*(A/4)*Y+B*(A/4)2)
+(C*Y-C*(A/4))
+D = 0 		     
                       
            Y4
+(-4*(A/4)+A)*Y3
+(4*(A/4)2 +2*(A/4)2 -2*A*(A/4) -A*(A/4)+B)*Y2
+(-4*(A/4)3 +A*(A/4)2 +2*A*(A/4)2 -2*B*(A/4)+C)*Y
+((A/4)4 -A*(A/4)3 +B*(A/4)2 -C*(A/4) +D) = 0 		     
                       
            Y4
+(-A+A)*Y3
+(6*(A/4)2 -3*A*(A/4)+B)*Y2
+(-4*(A/4)3 +3*4*(A/4)3 -2*B*(A/4)+C)*Y
+((A/4)4 -4*(A/4)4 +B*(A/4)2 -C*(A/4) +D) = 0 		     
                       
            Y4
+(6*(A/4)2 -4*3*(A/4)2+B)*Y2
+(-4*(A/4)3 +3*4*(A/4)3 -2*B*(A/4)+C)*Y
+((A/4)4 -4*(A/4)4 +B*(A/4)2 -C*(A/4) +D) = 0 		     
                       
            Y4
+(-6*(A/4)2 +B)*Y2
+(8*(A/4)3 -2*B*(A/4) +C)*Y
+(-3*(A/4)4 +B*(A/4)2 -C*(A/4) +D) = 0 		     
                       
            Y4
+(B-6*(A/4)2)*Y2
+(C-2*B*(A/4) +8*(A/4)3)*Y
+(D-C*(A/4) +B*(A/4)2 -3*(A/4)4) = 0 		     
                       
      係数の置き換え      
Y4 +p*Y2 +q*Y+r = 0
  ここに、
    p = B-6*(A/4)2
    q = C-2*B*(A/4)+8*(A/4)3
    r = D-C*(A/4)+B*(A/4) 2-3*(A/4)4 		     
                       
      ここで、Y = u+v+w とおくと、      
            (u+v+w)4 +p*(u+v+w)2 +q*(u+v+w)+r = 0      
                       
((u2 +v2 +w2) +(2*v*w+2*w*u+2*u*v))2
+p*((u2 +v2 +w2) +(2*v*w+2*w*u+2*u*v))
+q*(u+v+w)
+r = 0 		     
                       
            {(u2 +v2 +w2)2 +2*(u2 +v2 +w2)(2*v*w+2*w*u+2*u*v)
+(2*v*w+2*w*u+2*u*v)2}
+p*((u2 +v2 +w2) +(2*v*w+2*w*u+2*u*v))
+q*(u+v+w)
+r = 0 		     
                       
            {(u2 +v2 +w2)2 +4*(u2 +v2 +w2)(u*v+v*w+w*u)
+(4*v2*w2 +4*w2*u2 +4*u2*v2) +(2*2*w*u*2*u*v+2*2*u*v*2*v*w+2*2*v*w*2*w*u)}
+p*(u2 +v2 +w2) +2*p*(u*v+v*w+w*u)
+q*(u+v+w)
+r = 0 		     
                       
            (u2 +v2 +w2)2 +4*(u2 +v2 +w2)(u*v+v*w+w*u)
+4*(u2*v2 +v2*w2 +w2*u2) +8*u*v*w*(u+v+w)
+p*(u2 +v2 +w2) +2*p*(u*v+v*w+w*u)
+q*(u+v+w)
+r = 0 		     
                       
(u2 +v2 +w2)2
+4*(u2 +v2 +w2)(u*v+v*w+w*u) +2*p*(u*v+v*w+w*u)
+4*(u2*v2 +v2*w2 +w2*u2)
+p*(u2 +v2 +w2)
+8*u*v*w*(u+v+w) +q*(u+v+w)
+r = 0 		     
                       
(u2 +v2 +w2)2
+2*{2*(u2 +v2 +w2)+p}*(u*v+v*w+w*u)
+4*(u2*v2 +v2*w2 +w2*u2)
+p*(u2 +v2 +w2)
+(8*u*v*w+q)*(u+v+w)
+r = 0 		     
                       
      そこで、      
              u2+v2+w2 = -p/2
  u2*v2+v2*w2 +w2*u2 = (p2/16)-(r/4)
  u*v*w = -q/8 		     
      とすれば、左辺が０となる (等号が成り立つ)      
                 
            左辺 = (-p/2)2
 　　　　+2*{2*(-p/2)+p}*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+4*((p2/16)-(r/4))
 　　　　+p*(-p/2)
 　　　　+(8*(-q/8)+q)*(u+v+w)
 　　　　+r 		     
                       
             　　　= +p2/4
 　　　　+2*(-p+p)*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+(p2/4)-r
 　　　　-p2/2
 　　　　+(-q+q)*(u+v+w)
 　　　　+r 		     
                       
             　　　= +(p2+p2-2*p2)/4
 　　　　+2*(-p+p)*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+(-q+q)*(u+v+w)
 　　　　+(r-r) 		     
                       
             　　　= +(0)/4
 　　　　+2*(0)*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+(0)*(u+v+w)
 　　　　+(0) 		     
                       
            ∴左辺 = 0      
                       
      ここで、３次方程式の根と係数の関係に注目すると      
            g(t) = (t-u2)(t-v2)(t-w2)
     = t3 -(u2+v2+w2)t2 +(u2*v2+v2*w2+w2*u2)t -(u2*v2*w2) 		     
                       
      より、      
            g(t) = t3 -(-p/2)t2 +((p2/16)-(r/4))t-((-q/8)2)      
                       
      とおけるので、u2 v2 w2 は、上記３次方程式の解（g(t)=0の根）で、
３次の項を消去した４次方程式の解は、
Y = u+v+w より 		     
                       
            Y = ±√(u2)±√(v2)±√(w2)  （注）      
      　
　 　
注  ３次方程式の根は、実数または複素数なので、
 u2(,v2,w2)が複素数ならば、u(,v,w) も複素数となる
 複素数の自乗の平方根は元の数と異なる場合もあるので
 平方根をはずすことは出来ない		  
    例 A＝-1+i  
      √(A2)  ＝ √((-1+i)2)
 ＝ √(-12-2*i+i2）
 ＝ √(1-2i-1)
 ＝ √(-2i)  <*>
 ＝ 1-i 
 ≠ A 		   * z2=(a+bi)2
      =a2+2abi+(bi)2
      =a2-b2+2abi
      =0-2i
   とおいて以下を得る
      a2=b2   ← a2-b2=0
      a=-1/b ← 2ab=-2
   a,bは実数なので
     a=-b=±1
   複素数の平方根は
  偏角が1/2となるので
      arg(√(0-2i))
       =arg(0-2i)/2
       =(-π/2)/2
       =-π/4
  より
     z=1-i ← (a,b)=(1,-1)  
  a=-b=±1なので
  zの候補は２つ。
  それぞれを、
     z1= 1-i
     z2=-1+i
  とすると偏角は、
     arg(z1)=-π/2
     arg(z2)=3π/2
  である
  平方根で1/2となった偏角が
  -π/4なので、
  zは偏角が-π/2の
     1-i
  となる
  		 
　
                       
      となる      
                       
ここで、Yの取りうる組合せは、８(=2*2*2)通りあるが、
正しい解はそのうち４通りのみで、
u*v*w = -q/8 より値の符号が決定されるので、
以下の２つの解の組合せのみ正しい解を得ることが出来る 		     
                       
            -q/8 = +(u*v*w) のとき
    Y1 = ＋√(u2)＋√(v2)＋√(w2)
    Y2 = ＋√(u2)−√(v2)−√(w2)
    Y3 = −√(u2)−√(v2)＋√(w2)
    Y4 = −√(u2)＋√(v2)−√(w2)
   
-q/8 = -(u*v*w) のとき
    Y1 = −√(u2)−√(v2)−√(w2)
    Y2 = −√(u2)＋√(v2)＋√(w2)
    Y3 = ＋√(u2)＋√(v2)−√(w2)
    Y4 = ＋√(u2)−√(v2)＋√(w2)
 
      
                       
      よって、４次方程式の解は、X = Y-A/4 より以下となる      
              X1 = ±{＋√(u2)＋√(v2)＋√(w2)}−(A/4)
  X2 = ±{＋√(u2)−√(v2)−√(w2)}−(A/4)
  X3 = ±{−√(u2)−√(v2)＋√(w2)}−(A/4)
  X4 = ±{−√(u2)＋√(v2)−√(w2)}−(A/4)
  ただし復号(±)は、u*v*w の符号が、-q/8 と同じになる符号とする   		     
                       
                       
           
組合せの解説
　 解の組合せは、以下のように考えます．
 
まず、３つの復号の
 
　±A、±B、±C
 
かあります．このうち、
 
　±A、±B
 
の２つで考える．
この、２つの組合せを考えると
 
　＋A ＋B
　＋A −B
　−A ＋B
　−A −B
 
の４通りあります．
これに ±C を組合せると
 
＋C と組合せて、
　＋A ＋B ＋C
　＋A −B ＋C
　−A ＋B ＋C
　−A −B ＋C
 
と、−C を組合せて、
　＋A ＋B −C
　＋A −B −C
　−A ＋B −C
　−A −B −C
 
の８通りになります．
 
よって、
A*B*C>=0 ならば、
 
　＋A ＋B ＋C　　[ A*B*C>=0 ]
　−A −B ＋C　　[ (-A)*(-B)*C=(-1)*(-1)*A*B*C>=0 ]
　＋A −B −C　　[ A*(-B)*(-C)=(-1)*(-1)*A*B*C>=0 ]
　−A ＋B −C　　[ (-A)*B*(-C)=(-1)*(-1)*A*B*C>=0 ]
 
A*B*C<0 [(-1)*A*B*C>0] ならば、
　＋A −B ＋C　　[ A*(-B)*C=(-1)*A*B*C>0 ]
　−A ＋B ＋C　　[ (-A)*B*C=(-1)*A*B*C>0 ]
　＋A ＋B −C　　[ A*B*(-C)=(-1)*A*B*C>0 ]
　−A −B −C　　[ (-A)*(-B)*(-C)=(-1)*(-1)*(-1)*A*B*C>0 ]
 
の２つの解の組合せとなります．
     
                       
                       
 
 以下 参考事項 [2Y = u+v+w とおく場合]
 
       
数学100の定理 [日本評論社 数学セミナー編集部 編 1983]の
根の公式(P63) [下記参照]では、
2Y1 = ･･･とＹは２倍されていますが、間違いと思われます
３次の項を消去した４次方程式の解が 2Y1 = ･･･であるならば、
2Y = u+v+w と置いて、３次方程式（の係数）が、
  　t3 -2p*t2 +(p2-4r)t -q2 = 0
である必要があります 		     
                       
      2Y = u+v+w とおくと、      
            (u+v+w)4/16+p*(u+v+w)2/4+q*(u+v+w)/2+r = 0      
                       
            (u+v+w)4+4*p*(u+v+w)2+8*q*(u+v+w)+16*r = 0      
                       
            ((u2 +v2 +w2) +(2*v*w+2*w*u+2*u*v))2
+4*p*((u2 +v2 +w2) +(2*v*w+2*w*u+2*u*v))
+8*q*(u+v+w)
+16*r = 0 		     
                       
            {(u2 +v2 +w2)2 +2*(u2 +v2 +w2)(2*v*w+2*w*u+2*u*v)
+(2*v*w+2*w*u+2*u*v)2}
+4*p*((u2 +v2 +w2) +(2*v*w+2*w*u+2*u*v))
+8*q*(u+v+w)
+16*r = 0 		     
                       
            {(u2 +v2 +w2)2 +4*(u2 +v2 +w2)(u*v+v*w+w*u)
+(4*v2*w2 +4*w2*u2 +4*u2*v2) +(2*2*w*u*2*u*v+2*2*u*v*2*v*w+2*2*v*w*2*w*u)}
+4*p*(u2 +v2 +w2)+4*2*p*(u*v+v*w+w*u)
+8*q*(u+v+w)
+16*r = 0 		     
                       
            (u2 +v2 +w2)2 +4*(u2 +v2 +w2)(u*v+v*w+w*u)
+4*(u2*v2 +v2*w2 +w2*u2)+8*u*v*w*(u+v+w)
+4*p*(u2 +v2 +w2)+8*p*(u*v+v*w+w*u)
+8*q*(u+v+w)
+16*r = 0 		     
                       
            (u2 +v2 +w2)2
+4*(u2 +v2 +w2)(u*v+v*w+w*u)+8*p*(u*v+v*w+w*u)
+4*(u2*v2 +v2*w2 +w2*u2)
+4*p*(u2+v2+w2)
+8*u*v*w*(u+v+w)+8*q*(u+v+w)
+16*r = 0 		     
                       
            (u2 +v2 +w2)2
+4*{(u2 +v2 +w2)+2*p}*(u*v+v*w+w*u)
+4*(u2*v2 +v2*w2 +w2*u2)
+4*p*(u2 +v2 +w2)
+8*(u*v*w+q)*(u+v+w)
+16*r = 0 		     
                       
      そこで、      
              u2+v2+w2 = -2p
  u2*v2 +v2*w2 +w2*u2 = p2-4r
  u*v*w = -q
      
      とすれば、左辺が０となる (等号が成り立つ)      
                       
            左辺 = (-2p)2
 　　　　+4*{(-2p)+2*p}*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+4*(p2-4r)
 　　　　+4*p*(-2p)
 　　　　+8*((-q)+q)*(u+v+w)
 　　　　+16*r 		     
                       
             　　　= +4*p2
 　　　　+4*(-2p+2p)*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+4*p2-16*r
 　　　　-8*p2
 　　　　+(-q+q)*(u+v+w)
 　　　　+16*r 		     
                       
             　　　= +(4*p2+4*p2-8*p2)
 　　　　+2*(-p+p)*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+(-q+q)*(u+v+w)
 　　　　+(16*r-16*r) 		     
                       
             　　　= +(0)
 　　　　+2*(0)*(u*v+v*w+w*u)
 　　　　+(0)*(u+v+w)
 　　　　+(0) 		     
                       
            ∴左辺 = 0      
                       
      ここで、３次方程式の根と係数の関係に注目すると      
            g(t) = (t-u2)(t-v2)(t-w2)
     = t3 -(u2+v2+w2)t2 +(u2*v2+v2*w2+w2*u2)t -(u2*v2*w2) 		     
                       
      より、      
            g(t) = t3 -(-2p)t2 +(p2-4r)t -((-q)2)      
                 = t3 +2p*t2 +(p2-4r)t -q2      
                       
      以下 Y = u+v+w と同様に求めて、
３次の項を消去した４次方程式の解は、		      
                       
            -q/8 = +(u*v*w)のとき
   2Y1 = ＋√(u2)＋√(v2)＋√(w2)
   2Y2 = ＋√(u2)−√(v2)−√(w2)
   2Y3 = −√(u2)−√(v2)＋√(w2)
   2Y4 = −√(u2)＋√(v2)−√(w2)
-q/8 = -(u*v*w)のとき
   2Y1 = −√(u2)−√(v2)−√(w2)
   2Y2 = −√(u2)＋√(v2)＋√(w2)
   2Y3 = ＋√(u2)＋√(v2)−√(w2)
   2Y4 = ＋√(u2)−√(v2)＋√(w2)
  		     
                       
      正規化した４次方程式の解は、X = Y-A/4 より以下となる      
              X1 = ±{＋√(u2)＋√(v2)＋√(w2)}/2-(A/4)
  X2 = ±{＋√(u2)−√(v2)−√(w2)}/2-(A/4)
  X3 = ±{−√(u2)−√(v2)＋√(w2)}/2-(A/4)
  X4 = ±{−√(u2)＋√(v2)−√(w2)}/2-(A/4)
  ただし復号(±)は、u*v*w の符号が、-q と同じになる符号とする   		     
                       
                       
                       
 
 参考文献
 
             
数学100の定理
  　出版社: 日本評論社 数学セミナー編集部 編
  　発売日: 1983/10/20
  　旧ISBNコード: 4-535-70404-X
      
             
要項解説 数学公式辞典
  　著者: 笹部貞市郎
  　出版社: 聖文社
  　発売日: 昭和41年3月
      
　 　  
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　著者：高木貞治 (1875-1960)　【著作権の保護期間が切れた年月日：2011年(H23)1月1日】
　発行：1965(S40)/11/25
　発出版社：共立出版(株)
　※P180-184, § 35.　四次方程式（解法の一般論）
　Info：http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010000
　URL：http://kamegai.on.coocan.jp/html/soft.htm#HTML_Book1
　      　txt(html) データ公開中！（一部のみ）		 　
　 　 　 　
  
 参考文献より引用（複写）
 
　 　 数学100の定理 [日本評論社 数学セミナー編集部 編 1983]
  根の公式 ４次方程式 (P63)		 　
　 　
 
（注意）最後の根の式は、以下の間違いと思われる
 
    y1 ＝ ±{√(t1) ＋ √(t2) ＋ √(t3)}
    y2 ＝ ±{√(t1) − √(t2) − √(t3)}
    y3 ＝ ±{−√(t1) ＋ √(t2) − √(t3)}
    y4 ＝ ±{−√(t1) − √(t2) ＋ √(t3)}
 
    上記の解説および参考事項を参照してください  
 
 
（注意２）文頭の説明は、以下の間違いと思われる
 
    次の４次方程式の解法は、オイラー(Euler, 1707-1783)が考えた。
 
 　
　
                       
                       
                       
  
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