本文 引用部分を除き削除：2012(H24)/08/29
§34 に管理人注記（例題 指数計算の解説） 追加：2012(H24)/08/28
§35 に管理人注記 追加：2012(H24)/07/12
§36,37,38 追加：2012(H24)/06/29
新規作成公開 (序言,凡例,目次,§33,34,35)：2012(H24)/06/28
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| 代数学講義 改訂新版 |
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高木貞治 著 |
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序 言 |
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本書は著者がかつて東京大学で初級生のためにした一般向きの代数学講義に基づいて，それに多少の布桁を加えたものである．この講義の目的は、僅少なる時間に於て，迅速に代数学の基本概念を解説するにあった．従って本書の目標とする所も，代数学の大観であって，系統的なる全書ではない．代数学の広汎なる全範囲に亘って，それを系統的に叙述することは，全く意図の外において，むしろ材料を最も基本的なる問題に局限して，それらを周到に解釈する間に於て，成るべく多趣多様に代数的方法を紹介することを主眼とするのである．系統的も勿論宜しいが，いつも同じ道順と同じ日程では，興味も効果も饒なるを得ないことが虞れられる．このような考慮を念頭に置いて，本書の稿に筆をとった著者の微意が，如何なる程度までに貫徹されたかは，読者の高鑑に任せる外はない．
本書の構成は概括的にいって，二部に分れる．その第１部，第１章から第７章までは，方程式論であるが，更に細分すれば，その前半、第１章から第３章までは，いわゆる代数学の基本定理を中心とするもので，要するに多項式の解析学であって、そこでは複素数が立役である．またその後半，第４章から第７章までは，代数的方程式論の端緒で，そこでは群 (Group) 体 (Field) などの初舞台を見るであろう．
第２部，第８章から第１０章までは，行列式とその応用とを論ずる．行列式よりも，むしろ行列そのものが，輓近数学の各部門に於て重大性を有する現状に鑑みて，この部分では，行列論的の考察を基調とする．
前にいった大学の講義には，数学常識としての整数論の極小量が含まれていたのであるが，それは本書の姉妹篇ともいうべき「初等整数論講義」の中に収録されている．代数学と平行して，初等整数論の一班が修得されることは，甚だ望ましいのであるから，ここに附言するのである．
今世紀の二十年代を転機として，数学は各方面に劃期的の新生面を開いたが，その誘因は実に代数学に於ける抽象論的方法の発展にあったのである．その新思潮の背景または基盤として，古典代数学がその存在理由を失ったのでないことは勿論で，むしろ却って新興代数学の階梯として，一層重大性を加えたものと思われる．このような考慮から，今回本書の改訂に際しても，成るべくその原形を保存することを主眼として，ただ若干の削除及び追加を施こすに止めたのである． |
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1948年10月 |
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著 者 |
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| 改訂新版序 |
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著作権の保護期間が切れていない（と思われる）ので除外 |
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1965年11月 |
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高木佐知夫 |
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| 凡 例 |
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(1) |
本書の各章を節 (§) に分けて，その各節をなるべく互いに独立にも読み得るようにする．節は長短不同であるが，長いものは便宜上更に項 (1，2，3など) に分ける．
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(2) |
引用の便宜上，掲出の定理に番号をつける．〔定理 ｍ．ｎ〕は第ｍ章の第ｎ定理である． |
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(3) |
本書の主体である本文 (９ポイント活字の部分) では，本書成立の由来上，叙述はむしろ講話式で，教科書流の堅苦しい様式を避けたために，冗長をいとわないで頁数の膨大をきたしたのである．
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(4) |
本書には原則として，いわゆる練習問題を載せていない．〔問題〕として掲出したのは，むしろ本文の延長であるが，その説明を本文同様に詳細にすることは，ページ数の制限上不可能」であるから，一々〔解〕をつけてはおいたが，要点だけに限ることは止むを得ないのであった．読者がそれを練習問題と見なして，自発的考察の材料とすることは，勿論著者の希望するところである．
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(5) |
学術語の国訳は現今一定になっていない．本書の用例はすべて暫定的である．著者の意見は学用語の国際的であることを第一として，用語の妥当性を第二におくのであるから、なるべく直訳式に一言語に対して一邦語を目標とした．たとえば primitive はいつでも「原始」，irreducible はいつでも「既約」など．
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(6) |
序言にも述べたように，本書はむしろ各題目に関する単行編の集成である．特に，第２章における Hermite，Gauss，Laguerre の諸定理，あるいは第２章，第１０章における Sturm の問題など，特別の問題に関して多くの頁数を費やしたことは，均衡を失する観がないでもないが，これは「広より深」をモットーとする本書の本質から出たものである．読者が練習資料として，これを利用することを希望する．
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目 次 |
| 第１章 複素数 |
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§ 1. 実数の四則
§ 2. 複素数の四則
§ 3. 複素数の幾何学的表示
§ 4. 一次整函数
§ 5. 一次の有理数 w＝1/z・反転法および立体射影
§ 6. 一般の一次有理数 w＝(αz+β)/(γz+δ) |
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| 第２章 方程式論の基本定理 |
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§ 7. 多項式の四則
§ 8. 多項式の連続性
§ 9. 代数学の基本定理
§ 10. 根の連続性
§ 11. 有理函数，部分分数
§ 12. Hermite の定理および拡張
§ 13. Gauss の定理
§ 14. Laguerre の定理 |
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| 第３章 スツルムの問題，根の計算 |
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§ 15. Sturm の定理
§ 16. Sturm の定理の拡張
§ 17. 虚根に関する Sturm の問題
§ 18. Fourier，Laguerre の定理，Descartes の符号律
§ 19. 根の限界
§ 20. Newton の方法 |
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| 第４章 多項式の整除 |
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§ 22. 恒等なる多項式
§ 23. 多項式の最大公約数，Euclid の法式
§ 24. 多項式の可約，既約
§ 25. 二つ以上の変数に関する多項式 |
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| 第５章 対称式，置換 |
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§ 26. 基本対称式
§ 27. 判別式
§ 28. 終結式
§ 29. 判別式および終結式の不変性
§ 30. 置換
§ 31. 交代式
§ 32. 多項式と置換群 |
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| 第６章 三次および四次方程式 |
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§ 33. 三次方程式の解放，Cardano の公式
§ 34. 実三次方程式，三角函数による解法
§ 35. 四次方程式（解法の一般論）
§ 36. 四次方程式（三次分解方程式の計算）
§ 37. 四次方程式（根の非調和比）
§ 38. 二元二次方程式
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| 第７章 不可能の証明 |
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§ 39. 五次以上の方程式の代数的解法の不可能
§ 40. 前節の続き，証明の根拠
§ 41. 実根のみを有する三次方程式
§ 42. 初等幾何学の不可能な作図問題
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| 第８章 行列式 |
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§ 43. 行列式の起源
§ 44. 行列式の定義
§ 45. 行列式の性質
§ 46. 余因子，小行列式
§ 47. 連立一次方程式の解，Cramer の公式
§ 48. 行列の位
§ 49. 連立一次方程式の解，斉次の場合
§ 50. 連立一次方程式の解，一般の場合
§ 51. 基本定理の拡張
§ 52. Laplace の定理
§ 53. 行列の結合
§ 54. 行列式の掛け算
§ 55. 小行列式の行列式
§ 56. Sylvester の定理
§ 57. 行列のKronecker 積
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| 第９章 二次形式 |
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§ 58. 二重一次形式
§ 59. 二重一次形式の位と標準形式
§ 60. 二次形式
§ 61. 対称行列式
§ 62. 二次形式の位
§ 63. 二次形式の標準形式
§ 64. 定符号の二次形式，不定符号の二次形式
§ 65. 直交変形
§ 66. 二次形式の固有方程式，固有値
§ 67. 直交変形による標準形式への変形
§ 68. Hermite の二次形式
§ 69. 行列式の絶対値の評価
§ 70. Gram の行列式，Wronski の行列式
§ 71. 行列算
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| 第１０章 終結式，スツルムの問題と二次形式 |
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§ 72. 終結式を行列式として表わすこと
§ 73. Ｒk(x) の変形
§ 74. Sturm の問題への応用
§ 75. Sturm の問題と二次形式との連携
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| 補遺 |
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1. 正規行列
2. 単因子
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| 人名 |
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| 学術語・索引および対訳 |
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| 本 文 |
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第１章〜題５章 （§1.〜32.） は未入力
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第６章 （§33.〜38.） は、引用部分を除き削除(2012/08/29)
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第６章 三次および四次方程式
§ 34. 実三次方程式，三角函数による解法
2.
〔例〕 z3 + z2 - 4z + 1 ＝ 0．
z＝-x-1/3 とおけば，
x3 - (13/3)x - 65/27 ＝ 0．
a ＝ -13/3， b ＝ -65/27， D＞0．
λ ＝ 2(√(13))/3， c ＝ cosθ ＝ 65/{2(√(13))3}．
Log cosθ ＝ 9.8409683 - 10，θ ＝ 46°6’.127
(π-θ)/3 ＝ 44°37’.958， (π+θ)/3 ＝ 75°22’.042．
x1 ＝ 2.317759， x2 ＝ -1.710536， x3 ＝ -0.607223，
z1 ＝ -2.651092， z2 ＝ 1.377203， z3 ＝ 0.273890．
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対数計算の説明の為に上記の例題を引用する
（代数学講義 改訂新版、高木貞治著）
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当サイト管理人の注記 |
対数計算
現在では、関数電卓や表計算ソフトが普及しているので、上記の cosθ=65/{2(√(13))3} からθを求める計算は容易であるが、この本が書かれた1930(昭和5)年当時は、もっぱら対数表を使っての手計算が主流で、当然計算機など便利なものはなく、計算尺があったくらいであるが、計算尺では精度（有効桁数）はせいぜい３桁程度しかない。高精度な計算をするには、桁数の多い対数表で計算するのがほとんど唯一の計算法で、この例題も対数表で計算している（と思う）。
計算は電卓で確認出来るので、結果が正しいことは分かるが、それは、著者が実際に計算した手順ではない。そこで、著者が実際に計算したと思われる手順（対数計算）を以下に再現した。
使用した対数表は、現在最も入手しやすい、または、図書館等に最も所蔵されているとおもわれる、以下の対数表を使用した。よって、著者が実際に計算に使用した対数表ではないことに注意して頂きたい。
｜丸善 対数表 七桁
｜ (MARUZEN'S SEVEN-FIGURE MATHEMATICAL TABLES)
｜丸善出版部 編
｜発行日:昭和26年12月25日（昭和49年06月20日 第17版発行）
｜発行：丸善株式会社
｜[最新版]
｜ ISBN-13：9784621038949
｜ http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/462103894X.html
また、当WEBサイトの管理人は、実務での対数計算の経験がないので、計算間違いがあるかもしれません。
この計算に間違い等があれば、当方の 掲示板 へ連絡をお願いします。
与式
cosθ = 65/{2(√(13))^3}
を、対数表をつかって対数計算により、θを求める。
常用対数をとって
log cosθ = log(65/{2(√(13))^3})
右辺
= log(65) - {log(2) + log((√(13))^3)}
= log(65) - {log(2) + log(13*(√(13)))}
= log(65) - {log(2) + log(13) + log(√(13))}
= log(65) - log(2) - log(13) - log(√(13))
= log(65) - log(2) - log(13) - 1/2*log(13)
対数表 [P.2] より
log(2) = 0 + 0.3010300 = 0.3010300
log(13) = 1 + 0.1139434 = 1.1139434
log(65) = 1 + 0.8129134 = 1.8129134
さらに、
1/2*log(13) = 0.5 * 1.1139434 = 0.5569717
右辺を計算して、
= 1.8129134 - 0.3010300 - 1.1139434 - 0.5569717
= -0.1590317
よって与式は、
log cosθ = -0.1590317
三角関数の常用対数は、10を加えたものの表になっているので、
右辺をさらに変形して、
右辺
= -0.1590317 + (10-10)
= (-0.1590317+10) - 10
= 9.8409683 - 10
よって与式は、
log cosθ = 9.8409683 - 10
対数表 [P.247] より
log cos46°6' = 9.8409850 (Δ-0.0001313)
按分計算
1' * (9.8409683-9.8409850)/(-0.0001313)
= 1' * (-0.0000167)/(-0.0001313)
= 1' * 0.127
= 0.127'
∴
θ = 46° 6' + 0.127'
= 46° 6'.127
例題の計算に一致した。
ゆえに、著者が実際に計算に使用したと思われる対数表も、７桁であったと思われる。
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第６章 三次および四次方程式
§ 35. 四次方程式（解法の一般論）
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1. 四次方程式の解法は Ferrari (1522-1562) の発見とされている．
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x4 + a1x3+ a2x2 + a3x + a4 ＝ 0 |
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においても
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y ＝ x + a1/4 |
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を未知数とすれば，三次の項は消失する．
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誤植と思われる部分の説明の為に上記 本文の一部を引用する
（代数学講義 改訂新版、高木貞治著）
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当サイト管理人の注記 |
底本では、
y ＝ x + a1/4
とあるが、
y ＝ x - a1/4
の間違い（誤植）と思われる。
y ＝ x + a1/4 では、三次の項は消失しない。
下記の y ＝ x + a1/4 の 計算例
を参照して下さい。
または、
４次方程式の解 オイラーの方法 の解説
に、 y ＝ x - a1/4 での正しい計算例があります。
に、 x ＝ y - a1/4 の計算例があります。
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弟７章 §39. 以降は未入力
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| 補 遺 |
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未入力
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| 人 名 |
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未入力
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| 学術語・索引および対訳 |
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未入力
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