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３次方程式の解法の解説
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解説範囲 |
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以降の解説は、下記表の範囲で解説しています |
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| 判別に使用する値で範囲分け |
根の様子 |
カルダノ
の解法
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ビエタ
の解法
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判別式・
導関数より
求める解法
|
備考 |
| 簡約形 |
| X3+P*X+Q |
X3+3PY+Q |
X3+3PY+2Q |
| D < 0 |
D/27 < 0 |
D/108 < 0 |
１つの実根と
２つの互いに共役な複素数
|
○ |
× |
× |
|
| D = 0 |
D/27 = 0 |
D/108 = 0 |
重根
（２重根または３重根）
|
○ |
○ |
○ |
|
| D > 0 |
D/27 > 0 |
D/108 > 0 |
異なる３つの実根 |
×
[注] |
○ |
× |
還元不能の場合 |
注：還元不能の場合でも、カルダノの解法で解を求めることは可能(*)であるが、
実数解を複素数の計算で求める事になり、解を精度よく求めることが難しい．
計算機（ＰＣ）で解を求めるならば、三角関数を使用するビエタの解法の方が
精度よく求めることができて、実務向きなので、ここでは解説から除外する．
もしも、すべて手計算で求めるならば、
（三角関数を手計算や表で求めるのは大変なので）
ビエタの解法よりカルダノの解法の方が、
労少なく解を求めることが出来る．
*:[1] P33-34
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解法の解説
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カルダノ(Cardano)の解法の解説 |
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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D<0 の場合 |
D/27<0 (D<0) の場合 |
D/108<0 (D<0) の場合 |
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式(A-5) より |
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| |
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g(X) |
= X3+P*X+Q = 0 |
= X3+3*P*X+Q = 0 |
= X3+3*P*X+2*Q = 0 |
(C-1) |
| |
|
|
ここに、
P = (3*B-A2)/3
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/27
|
ここに、
P = (3*B-A2)/9
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/27
|
ここに、
P = (3*B-A2)/9
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/54
|
|
| |
判別式は、式(B-11) より、 |
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| |
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D |
= -(4*P3+27*Q2) |
= -27*(4*P3+Q2) |
= -108*(P3+Q2) |
(C-2) |
| |
ここで、 |
|
| |
|
Y ← X |
= u+v |
(C-3) |
| |
とおくと (C-1) は、 |
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| |
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h(Y) |
= (u+v)3+P*(u+v)+Q
= (u3)+3*(u2)*v+3*u*(v2)+(v3)
+P*(u+v)+Q
= (u3)+(v3)+3*(u2)*v+3*u*(v2)
+P*(u+v)+Q
= (u3)+(v3)+3*u*v*(u+v)
+P*(u+v)+Q
= (u3)+(v3)+(3*u*v+P)(u+v)+Q
= (3*u*v+P)(u+v) +u3+v3+Q
|
= (u+v)3+3*P*(u+v)+Q
= (u3)+3*(u2)*v+3*u*(v2)+(v3)
+3*P*(u+v)+Q
= (u3)+(v3)+3*(u2)*v+3*u*(v2)
+3*P*(u+v)+Q
= (u3)+(v3)+3*u*v*(u+v)
+3*P*(u+v)+Q
= (u3)+(v3)+(3*u*v+3*P)(u+v)+2*Q
= (3*u*v+3*P)(u+v) +u3+v3+Q
|
= (u+v)3+3*P*(u+v)+2*Q
= (u3)+3*(u2)*v+3*u*(v2)+(v3)
+3*P*(u+v)+2*Q
= (u3)+(v3)+3*(u2)*v+3*u*(v2)
+3*P*(u+v)+2*Q
= (u3)+(v3)+3*u*v*(u+v)
+3*P*(u+v)+2*Q
= (u3)+(v3)+(3*u*v+3*P)(u+v) +2*Q
= (3*u*v+3*P)(u+v) +u3+v3+2*Q
|
|
| |
となる |
|
| |
よって、 |
|
| |
|
|
3*u*v+P = 0 |
3*u*v+3*P = 0 |
3*u*v+3*P = 0 |
(C-4-1) |
| |
|
|
u3+v3+Q = 0 |
u3+v3+Q = 0 |
u3+v3+2*Q = 0 |
(C-4-2) |
| |
を満たす uとvを選べれば、uとvは、h(Y) = 0 を満たし
Y = u+v は、(C-1) [g(X) = 0] の解となる
(C-4-1)(C-4-2)を変型して、
|
|
| |
|
|
(u3)*(v3) = {(-P)/3}3
= -P3/27 |
(u3)*(v3) = {(-3*P)/3}3
= -P3 |
(u3)*(v3) = {(-3*P)/3}3
= -P3
|
(C-5-1) |
| |
|
|
u3+v3 = -Q |
u3+v3 = -Q |
u3+v3 = -2*Q |
(C-5-2) |
| |
を得られる |
|
| |
ここで、２次方程式の解と係数の関係に注目すると |
|
| |
|
|
２次方程式 Z2+a*Z+b = 0 の解 をα,βとすると
(Z-α)(Z-β) = Z2-(α+β)*Z+α*β
なので、
a = -(α+β)
b = α*β
が得られ
(α-β)2
= {(α+β)2}-4*α*β
= a2-4*b
したがって
α-β = √{a2-4*b}
|
|
| |
u3, v3 は、２次方程式 |
|
| |
|
|
t2+Q*t-P3/27 = 0 |
t2+Q*t-P3 = 0 |
t2+2*Q*t-P3 = 0 |
(C-6) |
| |
の解として与えられることがわかる
この方程式を解いて、
|
|
| |
|
(u3, v3) |
= [-Q±√{Q2-4*((-P3)/27)}]/2
= [-Q±√{4*(Q2)/4-4*((-P3)/27)}]/2
= [-Q±2*√{(Q2)/4+(P3)/27}]/2
|
= [-Q±√{Q2-4*(-P3)}]/2
= [-Q±√{4*(Q2)/4+4*P3}]/2
= [-Q±2*√{(Q2)/4+P3}]/2
|
= [-2*Q±√{4*Q2-4*(-P3)}]/2
= [-2*Q±√{4*Q2+4*P3}]/2
= [-2*Q±2*√{Q2+P3}]/2
|
|
| |
|
|
= -Q/2±√{(Q2)/4+(P3)/27}
|
= -Q/2±√{(Q2)/4+P3}
|
= -Q±√{Q2+P3}
|
(C-7) |
| |
となる
ゆえに、復号をそれぞれ u,v に割り当てて
|
|
| |
|
u3 |
= -Q/2＋√{(Q2)/4+(P3)/27} |
= -Q/2＋√{(Q2)/4+P3} |
= -Q＋√{Q2+P3} |
|
| |
|
|
= α |
(C-8-1) |
| |
|
v3 |
= -Q/2−√{(Q2)/4+(P3)/27} |
= -Q/2−√{(Q2)/4+P3} |
= -Q−√{Q2+P3} |
|
| |
|
|
= β |
(C-8-2) |
| |
とおいて立方根をとると |
|
| |
|
u |
= α(1/3), (ω3)*(α(1/3)), (ω2)*(α(1/3)) |
(C-9-1) |
| |
|
v |
= β(1/3), (ω3)*(β(1/3)), (ω2)*(β(1/3)) |
(C-9-2) |
| |
となる |
|
| |
ここで、ωは１の３乗根 |
(C-10) |
| |
|
ω |
= {-1+(√(3))i}/2 |
|
| |
である |
|
| |
(C-4-1)から |
|
| |
|
u*v |
= -(P)/3
= -P/3
|
= -(3*P)/3
= -P
|
= -(3*P)/3
= -P
|
(C-11)
|
| |
が成り立つので、
(C-11)を満たすように u,v の組み合わせをとり
u+v をつくると、(C-1)の解
|
|
| |
|
|
X1 = α(1/3)+β(1/3)
X2 = (ω3)*(α(1/3))+(ω2)*(β(1/3))
X3 = (ω2)*(α(1/3))+(ω3)*(β(1/3))
|
|
| (C-12)
|
|
| |
が得られる |
|
| |
よって、 |
|
| |
|
U |
= α(1/3)
= [-Q/2＋√{(Q2)/4+(P3)/27}](1/3)
= [-Q/2＋√{(108*((Q2)/4+(P3)/27))/108}](1/3)
= [-Q/2＋√{(27*Q2+4*P3)/108}](1/3)
= [-Q/2＋√{(27*Q2+4*P3)/(4*27)}](1/3)
= [-Q/2＋(1/2)*√{(27*Q2+4*P3)/27}](1/3)
|
= α(1/3)
= [-Q/2＋√{(Q2)/4+P3}](1/3)
= [-Q/2＋√{(4*((Q2)/4+P3))/4}](1/3)
= [-Q/2＋√{(Q2+4*P3)/4}](1/3)
= [-Q/2＋(1/2)*{√(Q2+4*P3)}](1/3)
|
= α(1/3)
|
|
| |
|
|
= [{-Q＋√{(27*Q2+4*P3)/27}}/2](1/3)
|
= [-Q＋√(Q2+4*P3)}/2](1/3)
|
= [-Q＋√{Q2+P3}](1/3) |
(C-13-1-0) |
| |
|
|
= [ {-Q＋√(-D/27)}/2](1/3) |
= [{-Q＋√(-D/27)}/2](1/3) |
= {-Q＋√(-D/108)}(1/3) |
(C-13-1) |
| |
|
V |
= β(1/3)
= [-Q/2−√{(Q2)/4+(P3)/27}](1/3)
= [-Q/2−√{(108*((Q2)/4+(P3)/27))/108}](1/3)
= [-Q/2−√{(27*Q2+4*P3)/108}](1/3)
= [-Q/2−√{(27*Q2+4*P3)/(4*27)}](1/3)
= [-Q/2−(1/2)*√{(27*Q2+4*P3)/27}](1/3)
|
= β(1/3)
= [-Q/2−√{(Q2)/4+P3}](1/3)
= [-Q/2−√{(4*((Q2)/4+P3))/4}](1/3)
= [-Q/2−√{(Q2+4*P3)/4}](1/3)
= [-Q/2−(1/2)*{√(Q2+4*P3)}](1/3)
|
= β(1/3)
|
|
| |
|
|
= [{-Q−√{(27*Q2+4*P3)/27}}/2](1/3)
|
= [-Q−√(Q2+4*P3)}/2](1/3)
|
= [-Q−√{Q2+P3}](1/3)
|
(C-13-2-0) |
| |
|
|
= [ {-Q−√(-D/27)}/2](1/3) |
= [ {-Q−√(-D/27)}/2](1/3) |
= {-Q−√(-D/108)}(1/3) |
(C-13-2) |
| |
|
|
|
|
| |
と置き直すと、
式 (C-1)
g(X) = 0 のとき３つの根は以下になる
|
|
| |
|
X1 |
= U+V |
(C-14-1) |
| |
|
X2 |
= ωU+(ω2)V
= U*{-1+i*3(1/2)}/2+V*{-1-i*3(1/2)}/2
|
|
| |
|
|
= -(U+V)/2+{(U-V)*3(1/2)}i/2 |
(C-14-2) |
| |
|
X3 |
= (ω2)U+ωV
= U*{-1-i*3(1/2)}/2+V*{-1+i*3(1/2)}/2
|
|
| |
|
|
= -(U+V)/2+{-(U-V)*3(1/2)}i/2 |
(C-14-3) |
| |
|
|
ここに
ω = {-1+i*3(1/2)}/2
ω2 = {-1-i*3(1/2)}/2
※(ω, ω2, １) は、１の立方根
|
|
| |
|
|
| |
よって、
式(A-3) の変数変換 X=Y-(A/3) を復元 （さらに、変数変換Ｘ←Ｙ）して、
式(A-2) の求める解は、
|
|
| |
|
X1 |
= (U+V)-(A/3) |
|
| |
|
|
= Alpha-Gamma |
(C-15-1) |
| |
|
X2 |
= [-(U+V)/2+{(U-V)*3(1/2)}i/2]-(A/3)
= [-Alpha/2-(A/3)] + [(1/2){Beta*3(1/2)}]i
|
|
| |
|
|
= (-Alpha/2-Gamma) + [(1/2){Beta*3(1/2)}]i
|
(C-15-2) |
| |
|
X3 |
= [-(U+V)/2+{-(U-V)*3(1/2)}i/2]-(A/3)
= [-Alpha/2-(A/3)] + [(1/2){-Beta*3(1/2)}]i
|
|
| |
|
|
= (-Alpha/2-Gamma) + [-(1/2){Beta*3(1/2)}]i
|
(C-15-3) |
| |
|
|
ここに
Alpha = U+V
Beta = U-V
Gamma = A/3
赤字は虚部
|
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| |
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| |
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|
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| |
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|
X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
|
| |
|
|
D=0 の場合 |
D/27=0 (D=0) の場合 |
D/108=0 (D=0) の場合 |
|
| |
D=0 の場合、式(C-12)までは、同様に説明できるので、
式(C-13-1)(C-13-2)以降を考慮する
条件は D=0 なので、式(C-13-1)(C-13-2)に適用すると
|
|
| |
|
U |
= [{-Q+√(-D/27)}/2](1/3)
= [{-Q+√(0)}/2](1/3)
|
= [{-Q+√(-D/27)}/2](1/3)
= [{-Q+√(0)}/2](1/3)
|
= {-Q+√(-D/108)}(1/3)
= {-Q+√(0)}(1/3)
|
|
| |
|
|
= (-Q/2)(1/3)
|
= (-Q/2)(1/3)
|
= (-Q)(1/3)
|
(C-16-1) |
| |
|
V |
= [{-Q-√(-D/27)}/2]}(1/3)
= [{-Q-√(0)}/2](1/3)
|
= [{-Q-√(-D/27)}/2]}(1/3)
= [{-Q-√(0)}/2](1/3)
|
= {-Q-√(-D/108)}(1/3)
= {-Q-√(0)}(1/3)
|
|
| |
|
|
= (-Q/2)(1/3)
|
= (-Q/2)(1/3)
|
= (-Q)(1/3)
|
(C-16-2) |
| |
で、U = V となる
よって、
|
|
| |
|
Alpha |
= U+V |
|
| |
|
|
= 2*{(-Q/2)(1/3)} |
= 2*{(-Q/2)(1/3)} |
= 2*{(-Q)(1/3)} |
(C-17-1) |
| |
|
Beta |
= U-V = 0 |
(C-17-2) |
| |
|
|
|
|
| |
となるので、
X2, X3 の虚部の項が０で実数になり、２重根 (X2=X3) となる
|
|
| |
よって、
式(A-3) の変数変換 X=Y-(A/3) を復元 （さらに、変数変換Ｘ←Ｙ） して、
式(A-2) の求める解は、
|
|
| |
|
|
X1 = Alpha-Gamma
X2 = -Alpha/2-Gamma
X3 = -Alpha/2-Gamma
|
(C-18)
|
| |
|
|
ここに
Alpha = U+V
Beta = U-V
Gamma = A/3
|
|
| |
となる
更に、Q=0 の時、Alpha=0 となり ３重根
|
|
| |
|
|
X1 = X2 = X3 = -Gamma (=-A/3) |
(C-19) |
| |
となる |
|
| |
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ビエタ(ビエト:Viete)の解法の解説
|
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
|
| |
|
|
D>=0 の場合 |
D/27>=0 (D>=0) の場合 |
D/108>=0 (D>=0) の場合 |
|
| |
式(A-5) より |
|
| |
|
g(X) |
= X3+P*X+Q = 0 |
= X3+3*P*X+Q = 0 |
= X3+3*P*X+2*Q = 0 |
(D-1) |
| |
|
|
ここに、
P = (3*B-A2)/3
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/27
|
ここに、
P = (3*B-A2)/9
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/27
|
ここに、
P = (3*B-A2)/9
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/54
|
|
| |
判別式は、式 (B-11) より、 |
|
| |
|
D |
= -(4*P3+27*Q2) |
= -27*(4*P3+Q2) |
= -108*(P3+Q2) |
(D-2) |
| |
ここで、 式 (D-2) は、条件 (D>=0) より以下の不等式で表される |
|
| |
|
|
-(4*P3+27*Q2) >= 0 |
-27*(4*P3+Q2) >= 0 |
-108*(P3+Q2) >= 0 |
(D-3) |
| |
さらに変形して |
|
| |
|
|
4*P3+27*Q2 <= 0
P3+(27/4)*Q2 <= 0
|
4*P3+Q2 <= 0
P3+(1/4)*Q2 <= 0
|
P3+Q2 <= 0
|
(D-4) |
| |
この不等式 (D-4) から以下が導ける |
|
| |
|
|
(27/4)*Q2 >= 0 より P3 <= 0 である
|
(1/4)*Q2 >= 0 より P3 <= 0 である
|
Q2 >= 0 より P3 <= 0 である
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
∴ P <= 0
|
(D-5-1) |
| |
|
|
P < 0 のとき Q <> 0
P = 0 のとき Q = 0
|
(D-5-2-1)
(D-5-2-2)
|
| |
以下、(D-5-2-1) のみを考慮し、(D-5-2-2)は最後に別途考慮する |
|
| |
|
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| |
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|
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|
| |
|
|
X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
|
| |
|
|
(D-5-2-1)
D>=0かつ P<0, Q<>0 の場合
|
(D-5-2-1)
D/27>=0 (D>=0) かつ P<0, Q<>0 の場合
|
(D-5-2-1)
D/108>=0 (D>=0) かつ P<0, Q<>0 の場合
|
|
| |
さらに、不等式 (D-4) を変形して |
|
| |
|
|
(Q/2)2 <= -((P/3)3)
|Q|/2 <= √(-((P/3)3))
※ P<0より 右辺平方根内は >0
|
(Q/2)2 <= -(P3)
|Q|/2 <= √(-(P3))
※ P<0より 右辺平方根内は >0
|
Q2 <= -(P3)
|Q| <= √(-(P3))
※ P<0より 右辺平方根内は >0
|
(D-6)
|
| |
両辺を右辺の値 (√(-(P3)) で除して
（>0より不等号の向きは変わらない）
|
|
| |
|
|
(|Q|/2)/√(-((P/3)3)) <= 1 |
(|Q|/2)/√(-(P3)) <= 1 |
(|Q|)/√(-(P3)) <= 1 |
(D-7) |
| |
|Q| = |-Q|なので、 |
|
| |
|
|
(|-Q|/2)/√(-((P/3)3)) <= 1 |
(|-Q|/2)/√(-(P3)) <= 1 |
(|-Q|)/√(-(P3)) <= 1 |
(D-8) |
| |
√(-(P3)) >= 0なので、全体を絶対値でくくり直せる |
|
| |
|
|
∴ |-(Q/2)/√(-((P/3)3))| <= 1 |
∴ |-(Q/2)/√(-(P3))| <= 1 |
∴ |-Q/√(-(P3))| <= 1 |
(D-9) |
| |
|
|
|
|
| |
ここで、不等式 (D-5-1) と (D-9) は、３次方程式の解法に、Cos の３倍角の公式 |
|
| |
|
|
Cos3θ = 4 * (Cosθ)3 - 3*Cosθ |
(D-10) |
| |
を利用することを可能にする [6], [7] |
|
| |
(D-10) を Y=Cosθ とおくと |
|
| |
|
|
Y3 - (3/4)*Y - (1/4)*Cos3θ = 0 |
(D-11) |
| |
(D-11)を、Cos3θが既知として、Yの３次方程式として解くと |
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解は、 |
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Y1 = Cosθ
Y2 = Cos(θ+2π/3)
Y3 = Cos(θ+4π/3) |
|
| (D-12)
|
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| |
となる |
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| |
したがって、３次方程式 (D-1) を (D-11) に変型できれば、
解は、Cosの形で求めることが出来る
そこで、
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| |
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Y = λz |
(D-13) |
| |
とおき、λを求める |
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| |
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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| |
(D-1)と(D-13)から |
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| |
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|
λ3*z3 + P*λ*z + Q = 0
∴z3 + (P/λ2)*z + (Q/λ3) = 0
|
λ3*z3 + 3*P*λ*z + Q = 0
∴z3 + (3*P/λ2)*z + (Q/λ3) = 0
|
λ3*z3 + 3*P*λ*z + 2*Q = 0
∴z3 + (3*P/λ2)*z + (2*Q/λ3) = 0
|
(D-14)
|
| |
となる |
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| |
これと、(D-11)を比較して |
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| |
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|
P/λ2 = -3/4
Q/λ3 = -(1/4)*Cos3θ
|
3*P/λ2 = -3/4
Q/λ3 = -(1/4)*Cos3θ
|
3*P/λ2 = -3/4
2*Q/λ3 = -(1/4)*Cos3θ
|
(D-15-1)
(D-15-2)
|
| |
を満たすλを選べばよい |
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| |
(D-5-1)と(D-15-1)より |
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λ = √(-(4/3)*P) > 0 |
λ = √(-4*P) > 0 |
λ = √(-4*P) > 0 |
(D-16) |
| |
(D-16)を(D-15-2)に代入して |
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| |
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-4*Q / {√(-(4/3)*P)}3 = Cos3θ |
-4*Q / {√(-4*P)}3 = Cos3θ |
-8*Q / {√(-4*P)}3 = Cos3θ |
(D-17) |
| |
(D-17)の左辺は |
|
| |
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|
(-Q/2) / √(-((P/3)3)) |
(-Q/2) / √(-(P3)) |
(-Q) / √(-(P3)) |
(D-18) |
| |
に変型でき、(D-9) と(D-18)より |
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| |
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(-Q/2) / √(-((P/3)3)) = Cos3θ |
(-Q/2) / √(-(P3)) = Cos3θ |
-Q / √(-(P3)) = Cos3θ |
(D-19) |
| |
とするような
3θが、0<3θ<π の範囲にただ１つ決まる
|
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| |
具体的には、 |
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P<0 のとき |
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| |
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Cos3θ = (-Q/2)/√(-((P/3)3)) |
Cos3θ = (-Q/2)/√(-(P3)) |
Cos3θ = -Q/√(-(P3)) |
(D-20-1) |
| |
|
|
ここで、 Arccos(X)=Atn[-X/Sqr(-X*X+1)]+π/2 より |
|
| |
|
|
3θ
= Arccos(Cos(3θ))
= Arccos((-Q/2)/√(-((P/3)3)))
= Atn[-{(-Q/2)/√(-((P/3)3)}
/ √{-{(-Q/2)/√(-((P/3)3)}
*{(-Q/2)/√(-((P/3)3)}+1}]+π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-((P/3)3)}
/ √{-{(-Q/2)2/(-((P/3)3)}+1} ] +π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-((P/3)3)}
/ √{-((Q2/4)/(-((P/3)3))+1}] +π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-((P/3)3)}
/ √{((Q2)/(4*((P/3)3)))+1}]+π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-((P/3)3)}
/ √{(4*((P/3)3)+(Q2))/(4*((P/3)3))}]+π/2
= Atn[√{(Q/2)2/(-((P/3)3))}
/ √{(4*((P/3)3)+(Q2))/(4*((P/3)3))}]+π/2
= Atn[√{(Q2/4)/(-((P/3)3))}
/ √{(4*((P/3)3)+(Q2))/(4*((P/3)3))}]+π/2
= Atn[√{-(Q2)/(4*((P/3)3))}
/ √{(4*((P/3)3)+(Q2))/(4*((P/3)3))}]+π/2
= Atn[√{{-(Q2)/(4*((P/3)3))}
/ {((4*((P/3)3)+(Q2))/(4*((P/3)3)))}}]+π/2
= Atn[√{{-(Q2)/(4*((P/3)3))}
* {(4*((P/3)3))/(4*((P/3)3)+(Q2))}}]+π/2
= Atn[√{{-(Q2)/1} * {1/(4*((P/3)3)+(Q2))}}]
+π/2
= Atn[√{-(Q2)/(4*((P/3)3)+(Q2))}]+π/2
= Atn[Q*{√(-1/(4*((P/3)3)+(Q2)))}]+π/2
= Atn[Q*{√(1/-(4*((P/3)3)+(Q2)))}]+π/2
= Atn[Q/√{-(4*((P/3)3)+(Q2))}]+π/2
= Atn[Q/√{-(4*((P3)/27+(Q2))}]+π/2
= Atn[Q/√{-(4*P3+27*Q2)/27}]+π/2
|
3θ
= Arccos(Cos(3θ))
= Arccos((-Q/2)/√(-(P3)))
= Atn[-{(-Q/2)/√(-(P3)}
/ √{-{(-Q/2)/√(-(P3)}
*{(-Q/2)/√(-(P3)}+1}]+π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-(P3)}
/ √{-{(-Q/2)2/(-(P3)}+1} ]+π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-(P3)}
/ √{-((Q2/4)/(-(P3))+1}]+π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-(P3)}
/ √{((Q2)/(4*(P3)))+1}]+π/2
= Atn[{(Q/2)/√(-(P3)}
/ √{(4*(P3)+(Q2))/(4*(P3))}]+π/2
= Atn[√{(Q/2)2/(-(P3))}
/ √{(4*(P3)+(Q2))/(4*(P3))}]+π/2
= Atn[√{(Q2/4)/(-(P3))}
/ √{(4*(P3)+(Q2))/(4*(P3))}]+π/2
= Atn[√{-(Q2)/(4*(P3))}
/ √{(4*(P3)+(Q2))/(4*(P3))}]+π/2
= Atn[√{{-(Q2)/(4*(P3))}
/ {((4*(P3)+(Q2))/(4*(P3)))}}]+π/2
= Atn[√{{-(Q2)/(4*(P3))}
* {(4*(P3))/(4*(P3)+(Q2))}}]+π/2
= Atn[√{{-(Q2)/1} * {1/(4*(P3)+(Q2))}}]
+π/2
= Atn[√{-(Q2)/(4*(P3)+(Q2))}]+π/2
= Atn[Q*{√(-1/(4*(P3)+(Q2)))}]+π/2
= Atn[Q*{√(1/-(4*(P3)+(Q2)))}]+π/2
= Atn[Q/√{-(4*(P3)+(Q2))}]+π/2
= Atn[Q/√{-27*(4*(P3)+(Q2))/27}]
+π/2
|
3θ
= Arccos(Cos(3θ))
= Arccos(-Q)/√(-(P3)))
= Atn[-{-Q/√(-(P3))}
/ √{-{-Q/√(-(P3)}
*{-Q/√(-(P3)}+1}]+π/2
= Atn[{Q/√(-(P3))}
/ √{-{(-Q)2/(-(P3)}+1} ]+π/2
= Atn[{Q/√(-(P3))}
/ √{-{Q2/(-(P3))}+1}]+π/2
= Atn[{Q/√(-(P3))} / √{(Q2/P3)+1}]
+π/2
= Atn[{Q/√(-(P3))} / √{(P3+Q2)/P3}]
+π/2
= Atn[√{Q2/(-(P3))} / √{(P3+Q2)/P3}]
+π/2
= Atn[√{{Q2/(-(P3))} / {(P3+Q2)/P3}}]
+π/2
= Atn[√{{Q2/(-(P3))} * {P3/(P3+Q2)}}]
+π/2
= Atn[√{{Q2/(-1)} * {1/(P3+Q2)}}]
+π/2
= Atn[√{-(Q2)/(P3+Q2)}]+π/2
= Atn[Q/√{-(P3+Q2)}]+π/2
= Atn[Q/√{-108(P3+Q2)/108}]+π/2
|
|
| |
|
|
式 (B-11) より
|
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| |
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|
= Atn(Q/√(D/27))+π/2 |
= Atn(Q/√(D/27))+π/2 |
= Atn(Q/√(D/108))+π/2 |
(D-20-1-1) |
| |
|
|
となる
さらに計算精度を上げる為に、
公式 Atn(X)=-Atn(1/X)+π/2
を適用して
|
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| |
|
|
= (-Atn[√(D/27)/Q]+π/2)+π/2
|
= (-Atn[√(D/27)/Q]+π/2)+π/2
|
= (-Atn[√(D/108)/Q]+π/2)+π/2
|
|
| |
|
|
= -Atn[√(D/27)/Q]+π
|
= -Atn[√(D/27)/Q]+π
|
= -Atn[√(D/108)/Q]+π
|
(D-20-1-2) |
| |
|
|
↓主値に置換え (Atn(θ)≡Atn(θ)+nπ)
|
|
| |
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|
≡ -Atn[√(D/27)/Q] |
≡ -Atn[√(D/27)/Q] |
≡ -Atn[√(D/108)/Q] |
(D-20-1-3) |
| |
|
|
さらに、
公式 (-Atn(X)=Atn(-X))
を適用して
|
|
| |
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|
3θ = Atn[√(D/27)/(-Q)] |
3θ = Atn[√(D/27)/(-Q)] |
3θ = Atn[√(D/108)/(-Q)] |
(D-20-1-4) |
| |
|
|
を得る |
|
| |
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|
∴θ = (Atn[√(D/27)/(-Q)])/3 |
∴θ = (Atn[√(D/27)/(-Q)])/3 |
∴θ = (Atn[√(D/108)/(-Q)])/3 |
(D-20-1-5) |
| |
|
|
※Pの３乗の平方根や、+π/2の計算が削除出来た分、精度向上が期待できる |
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| |
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| |
となる
これによりλ、θの値が決まるので、
(D-14)の解が(D-12)で与えられ、したがって(D-1)の解が、
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| |
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|
X1 = λ*Cosθ
X2 = λ*Cos(θ+2π/3)
X3 = λ*Cos(θ+4π/3)
|
|
| (D-21)
|
|
| |
で与えられる |
|
| |
よって、
式(A-3) の変数変換 X=Y-(A/3) を復元 （さらに、変数変換Ｘ←Ｙ）して、
式(A-2) の求める解は、
|
|
| |
|
|
X1 = λ*Cosθ - Gamma
X2 = λ*Cos(θ+2π/3) - Gamma
X3 = λ*Cos(θ+4π/3) - Gamma
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| (D-22)
| |
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|
ここに Gamma = A/3 |
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| |
となる |
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| |
|
X1, X2, X3 の大小の順
|
| |
式 (D-22) X1, X2, X3 の大小の順は、
Gamma は定数、式 (D-16)より λ>0 なので、
Cosθ, Cos(θ+2π/3), Cos(θ+4π/3)
の大小の順と同じである
θの範囲 [0<θ<π/3] (← 0<3θ<π 式(D-19) の条件) と
下記グラフより、
Cos(θ+2π/3) < Cos(θ+4π/3) < Cosθ [0<θ<π/3]
であるのは明らか
よって、大小の順は、
X2 < X3 < X1
となる
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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| |
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|
(D-5-2-2)
D>=0かつ P=0, Q=0 の場合 |
(D-5-2-2)
D/27>=0 (D>=0) かつ P=0, Q=0 の場合 |
(D-5-2-2)
D/108>=0 (D>=0) かつ P=0, Q=0 の場合
|
|
| |
(D-5-2-2) のときは、D=0, P=0, Q=0 で、式(A-5) は、 |
|
| |
|
g(X) |
= X3+*P*X+Q |
= X3+3*P*X+Q |
= X3+3*P*X+2*Q |
|
| |
|
|
= X3 |
(D-23) |
| |
となるので、g(X)=0 より解は、明らかに ３重根 の X=0 のみである
式(D-15-1)とP=0より
|
|
| |
|
λ |
= √(-(4/3)*P)
|
= √(-4*P)
|
= √(-4*P)
|
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| |
|
|
= 0
|
(D-24) |
| |
|
|
|
|
| |
となる
ゆえに、式(D-21) は、X1, X2, X3 共に、θの値に関係なく常に０となる
(数値計算上は、式(D-20-1) に関わらず、任意の3θを与えて計算をすればよい)
|
|
| |
よって、式(D-22) より、
式(A-3) の変数変換 X=Y-(A/3) を復元 （さらに、変数変換Ｘ←Ｙ）して、
式(A-2) の求める解は、３重根
|
|
| |
|
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X1 = X2 = X3 = -Gamma |
(D-25) |
| |
を得ることが出来る |
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| |
重根の場合
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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| |
|
|
D=0 の場合 |
D/27=0 (D=0) の場合 |
D/108=0 (D=0) の場合 |
|
| |
式 (A-4) より |
|
| |
|
g(X) |
= X3+P*X+Q |
= X3+3*P*X+Q |
= X3+3*P*X+2*Q |
(E-1) |
| |
|
|
ここに、
P = (3*B-A2)/3
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/27 |
ここに、
P = (3*B-A2)/9
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/27
|
ここに、
P = (3*B-A2)/9
Q = (2*A3-9*A*B+27*C)/54
|
|
| |
判別式は、式 (B-11) より、 |
|
| |
|
D |
= -(4*P3+27*Q2) |
= -27*(4*P3+Q2) |
= -108*(P3+Q2) |
(E-2) |
| |
D=0 なので、 |
|
| |
|
|
P = 0, Q = 0 |
(E-3) |
| |
|
|
または、
-(4*P3+27*Q2) = 0
4*P3+27*Q2 = 0
|
または、
-27*(4*P3+Q2) = 0
4*P3+Q2 = 0
|
または、
-108*(P3+Q2) = 0
P3+Q2 = 0
|
|
| |
|
|
-((P/3)3) = (Q/2)2
※ Qは実数, Q<>0, (Q/2)2>0 より P<0
|
-(P3) = (Q/2)2
※ Qは実数, Q<>0, (Q/2)2>0 より P<0
|
-(P3) = Q2
※ Qは実数, Q<>0, Q2>0 より P<0
|
(E-4) |
| |
の、２とおりがある
以下、(E-3) (E-4) の２つのケースに分けて考慮する
|
|
| |
|
|
| |
|
|
[３重根]
(E-3)
D=0
かつ P=0, Q=0 の場合
|
[３重根]
(E-3)
D/27=0 (D=0)
かつ P=0, Q=0 の場合
|
[３重根]
(E-3)
D/108=0 (D=0)
かつ P=0, Q=0 の場合
|
|
| |
式(E-1) および、条件 P=0, Q=0 より |
|
| |
|
g(X) |
= X3 |
(E-5) |
| |
となるので、g(X)=0 より解は、明らかに ３重根 の X=0 のみである |
|
| |
よって、
式(A-3) の変数変換 X=Y-(A/3) を復元 （さらに、変数変換Ｘ←Ｙ）して、
式(A-2) の求める解は、
|
|
| |
|
|
X1 = X2 = X3 = -(A/3) |
(E-6) |
| |
となる |
|
| |
|
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|
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| |
３重根の場合の『チルンハウス変換』について |
| |
|
任意の３次方程式が３重根の場合の『チルンハウス変換』について |
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| |
３重根の解を u とすると、３次方程式は |
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| |
f(X) |
= (X-u)3
= X3-3*u*X2+3*u2*Y-u3
= X3+A*X2+B*Y+C
|
(E-7)
|
| |
|
ここに
A = -3*u
B = 3*u2
C = -u3
|
| |
と書き表すことが出来る
|
|
| |
ここで、式(A-4-1) (A-4-2) より
|
|
| |
P |
= (3*B-A2)/3
= (3*(3*u2)-(-3*u)2)/3
= (9*u2-9*u2)/3
= (0)/3
|
= (3*B-A2)/9
= (3*(3*u2)-(-3*u)2)/9
= (9*u2-9*u2)/9
= (0)/9
|
= (3*B-A2)/9
= (3*(3*u2)-(-3*u)2)/9
= (9*u2-9*u2)/9
= (0)/9
|
|
| |
|
= 0 |
(E-8) |
| |
Q |
= (2*A3-9*A*B+27*C)/27
= (2*(-3*u)3-9*(-3*u)*(3*u2)+27*(-u3))/27
= (-54*u3+81*u3-27*u3)/27
= (-81*u3+81*u3)/27
= (0)/27
|
= (2*A3-9*A*B+27*C)/27
= (2*(-3*u)3-9*(-3*u)*(3*u2)+27*(-u3))/27
= (-54*u3+81*u3-27*u3)/27
= (-81*u3+81*u3)/27
= (0)/27
|
= (2*A3-9*A*B+27*C)/54
= (2*(-3*u)3-9*(-3*u)*(3*u2)+27*(-u3))/54
= (-54*u3+81*u3-27*u3)/54
= (-81*u3+81*u3)/54
= (0)/54
|
|
| |
|
= 0 |
(E-9) |
| |
となるので、
『チルンハウス変換』（変数変換 X=Y-(A/3) （さらに、変数変換Ｘ←Ｙ）して、２次の係数がない式に変形）すると、
式(A-5)は、必ず以下の 式(E-10) の形になる
|
|
| |
g(X) |
= X3+P*X+Q |
= X3+3*P*X+Q |
= X3+3*P*X+2*Q |
|
| |
|
= X3+(0)*X+(0) |
= X3+3*(0)*X+(0) |
= X3+3*(0)*X+2*(0) |
|
| |
|
= X3 |
(E-10) |
| |
|
|
|
| |
任意の３次方程式が３重根の解を持つとき、
変曲点M （＝方程式が点対称になる点＝曲線の曲がる方向が変わる点＝極大極小の中点） は、
必ずＸ軸上にあり、
（３次方程式の）２次の係数がない式に変形する『チルンハウス変換』が、
（３次方程式の）変曲点MがＹ軸上になるように (Ｘ軸に平行に)平行移動することと合わせて考えれば、
式(E-10)は、当然の結果といえる
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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|
[２重根]
(E-4)
D=0
かつ P<0, Q<>0 の場合
|
[２重根]
(E-4)
D/27=0 (D=0)
かつ P<0, Q<>0 の場合
|
[２重根]
(E-4)
D/108=0 (D=0)
かつ P<0, Q<>0 の場合
|
|
| |
|
|
|
|
| |
判別式の定義より、D=0 の時は重根で、
３重根は上記(E-3)のケースに限定されるので、
D=0, P<0, Q<>0 は ２重根 となることがわかる
|
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| |
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|
| |
式(A-5) より簡約式を、 |
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F(X) |
= X3+P*X+Q |
(F-1) |
|
とすると、
簡約式の導関数（２次方程式）は、
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|
F'(X) |
= 3*X2+P |
(F-2) |
| |
である |
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| |
ここで、
簡約式をグラフから考慮すると、
２重根は、以下の２ケースがあることがわかる
その２ケースを、以下に概略図にて示す
※ 点Ｍ は、簡約式 F(X) の 変曲点（極大極小の中点）
※ 点Ｎ は、簡約式の導関数 F'(X) の 変曲点（極大極小の中点）
|
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| |
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|
２重根の場合のグラフ |
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簡約式の根の様子が ２重根と(それとは異なる)実数根１つ の場合のグラフ |
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(1) |
２重根と(それとは異なる)実数根１つの間のＹが＋（変曲点MのＹ座標値 My(Q または 2Q) が正） |
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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D=0, P<0
２重根は、導関数 F'(X)=0 の解の大きい方 (x2)
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さらに、
簡約式 F(X) の変曲点Ｍ（方程式が点対称になる点＝曲線の曲がる方向が変わる点＝極大極小の中点）は、
かならず、Ｙ軸上にあり（※）、ゆえにＹ接片で、
そのＸ座標値は、
Mx = 0
※上記 『チルンハウス変換』 について を参照
※※簡約式の導関数 F'(X) はＹ軸で対称なので、x1=-x2
※※※２重根とは異なる実数根を x0 とすれば、根と係数の関係式より x0=-2*x2
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変曲点ＭのＹ座標値は、F(X) のＹ接片で、
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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F(Mx) = F(0) = Q |
F(Mx) = F(0) = Q |
F(Mx) = F(0) = 2Q |
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また、上記グラフより
F(Mx) > 0
が明らかなので、
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Q > 0 |
(F-3) |
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(2) |
２重根と(それとは異なる)実数根１つの間のＹが−（点MのＹ座標値 My が負） |
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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D=0, P<0
２重根は、導関数 F'(X)=0の解の小さい方 (x1)
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さらに、
簡約式 F(X) の変曲点Ｍ（方程式が点対称になる点＝曲線の曲がる方向が変わる点＝極大極小の中点）は、
かならず、Ｙ軸上にあり（※）、ゆえにＹ接片で、
そのＸ座標値は、
Mx = 0
※上記 『チルンハウス変換』 について を参照
※※簡約式の導関数 F'(X) はＹ軸で対称なので、x1=-x2
※※※２重根とは異なる実数根を x0 とすれば、根と係数の関係式より x0=-2*x1
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変曲点ＭのＹ座標値は、F(X) のＹ接片で、
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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F(Mx) = F(0) = Q |
F(Mx) = F(0) = Q |
F(Mx) = F(0) = 2Q |
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上記グラフより
F(Mx) < 0
が明らかなので、
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Q < 0 |
(F-4) |
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P の取りうる範囲 |
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簡約式が２重根と(それとは異なる)実数根１つ の場合の P の取りうる範囲について |
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任意の３次方程式 [式(A-2)] |
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fff(X) |
= X3+A*X2+B*X+C |
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の導関数を、 |
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fff'(X) |
= 3*X2+2*A*X+B |
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である |
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この導関数 fff'(X)=0 を解いて、２次方程式の解の公式(注１)より |
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X |
= {-2*A±√((2*A)2-4*3*B)}/(2*3) |
(F-5) |
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（注１） |
２次方程式の解は、解の公式とおりに求めると
桁落ち誤差にて精度良く求めることが出来ない
よって実際の計算は、以下のように場合分けして求める
g(X)=AX2+BX+C
B>=0 のとき
X1=-2*C/(B+√(B2-4*A*C))
X2={-B-√(B2-4*A*C)}/(2*A)
B<0 のとき
X1={-B+√(B2-4*A*C)}/(2*A)
X2=-2*C/(B-√(B2-4*A*C))
参考文献[3] P4,第１章 数値表現と丸め誤差
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を得る
よって、求める解は
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X1 |
= {-2*A + √(4*(A2)-12*B)}/6
= {-2*A + 2*√((A2)-3*B)}/6
= {-A + √((A2)-3*B)}/3
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(F-6-1)
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X2 |
= {-2*A - √(4*(A2)-12*B)}/6
= {-2*A - 2*√((A2)-3*B)}/6
= {-A - √((A2)-3*B)}/3
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(F-6-2)
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となる
さてここで、簡約式 F(X) について考える
簡約式 F(X) が２重根を持つ（かつ３重根でない）ならば、
２重根の場合のグラフの
２ケースのどちらかであり、そうであるならば、
簡約式の導関数 F'(X) の解 X1, X2 は２つの異なる実数根である
これを、任意の３次方程式で求めた上記の結果にあてはめて考察すると、
２次方程式の解の公式 の平方根の中 (赤字の斜字部) が、
正 (0より大きい実数) である必要がある
よって、
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(A2)-3*B > 0 |
(F-7) |
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であることがわかる
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この式(F-7)の左辺を変形すると、
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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左辺
= (A2)-3*B
= -(-A2+3*B)
= -(3*B-A2)
= (-(3*B-A2)/3)*3
= (-P)*3
= -P*3
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左辺
= (A2)-3*B
= -(-A2+3*B)
= -(3*B-A2)
= (-(3*B-A2)/9)*9
= (-P)*9
= -P*9
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左辺
= (A2)-3*B
= -(-A2+3*B)
= -(3*B-A2)
= (-(3*B-A2)/9)*9
= (-P)*9
= -P*9
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となる
よって、
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-3*P > 0 |
-9*P > 0 |
-9*P > 0 |
(F-7-1) |
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ゆえに |
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P < 0 |
(F-8) |
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を得る |
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Q の取りうる範囲
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簡約式が２重根と(それとは異なる)実数根１つ の場合の 簡約式のＹ接片(変曲点ＭのＹ座標値) Q の取りうる範囲について |
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簡約式 F(X) の 変曲点（極大極小の中点） M のＸ座標値 は、
簡約式の導関数 F'(X)=0 の解の中点に等しいことに注目して求めると、
式(F-6-1)、式(F-6-2) より
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Mx |
= (x1+x2)/2
= {(-A+√((A2)-3*B))/3 + (-A-√((A2)-3*B))/3}/2
= {(-A+√((A2)-3*B)) + (-A-√((A2)-3*B))}/2/3
= {-A+√((A2)-3*B)) -A-√((A2)-3*B))}/6
= {-2*A + 0}/6
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= -A/3 |
(F-9) |
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簡約式の変曲点 M のＸ座標値 は、２階の導関数の解に等しいことに注目すれば、
さらに簡単に以下の式にて求めることが出来る
F''(X) = 6*X+2*A = 0 より
6*Mx = -2*A
Mx = -2*A/6
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∴ Mx = -A/3 |
(F-9-2) |
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を得る
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Mx=-A/3 を元の簡約式に代入して |
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X3+P*X+Q |
X3+3*P*X+Q |
X3+3*P*X+2*Q |
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F(Mx) |
= (Mx)3+A*(Mx)2+B*(Mx)+C
= (-A/3)3+A*(-A/3)2+B*(-A/3)+C
= -A3/(33)+A3/(32)-A*B/3+C
= -A3/27+A3/9-A*B/3+C
= (-A3+3*A3)/27-A*B/3+C
= {2*(A3)-9*A*B+27*C}/27
|
= (Mx)3+A*(Mx)2+B*(Mx)+C
= (-A/3)3+A*(-A/3)2+B*(-A/3)+C
= -A3/(33)+A3/(32)-A*B/3+C
= -A3/27+A3/9-A*B/3+C
= (-A3+3*A3)/27-A*B/3+C
= {2*(A3)-9*A*B+27*C}/27
|
= (Mx)3+A*(Mx)2+B*(Mx)+C
= (-A/3)3+A*(-A/3)2+B*(-A/3)+C
= -A3/(33)+A3/(32)-A*B/3+C
= -A3/27+A3/9-A*B/3+C
= (-A3+3*A3)/27-A*B/3+C
= {2*(A3)-9*A*B+27*C}/27
= 2*[{2*(A3)-9*A*B+27*C}/54]
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= Q |
= Q |
= 2*Q |
(F-10) |
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を得る
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Mxは、簡約式の導関数 F'(X) の２つの解の中点である
さらに、Q=0 (D=0なので、P=0) は、簡約式 F(X) が３重根の場合で除外できる
ゆえに、根の様子が ２重根とそれとは異なる実数根１つの場合は、
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Q <> 0 |
(F-11) |
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である |
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（参考） |
他に３つの異なる実数根で、根が等間隔の場合も F(Mx) = 0 (Q=0の場合) となり得るが
重根ではない（D>0：還元不能のケース）ので考慮から除外できる
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２重根の場合のグラフ より、
簡約式の算出時に求めた Q 、
もしくは、
式(F-9)、または、式(F-9-2)で求めたMxを、
簡約式に代入し F(Mx) を求めれば、
x1,x2のどちらの値が２重根か判別できる
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・ |
F(Mx)=Q (または2Q) > 0 のとき
（簡約式g(X)の変曲点ＭのＹ座標値は正なので）ケース(1)で
求める２重根を Z とすると、
Z = Max(x1,x2) = x2
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(F-12-1)
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・ |
F(Mx)=Q (または2Q) < 0 のとき
（簡約式g(X)の変曲点ＭのＹ座標値は負なので）ケース(2)で
求める２重根を Z とすると、
Z = Min(x1,x2) = x1
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(F-12-2)
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最後に、
求めた２重根 Z 、
および、未知の残りの１根を X とすると、
根と係数の関係式 Q=-X*Z*Z より、残りの１根は以下より求まる
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X = -Q/(Z2) |
(F-13) |
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残りの１根（２重根とは異なる実数根）の求め方 |
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簡約式を
g(X) = X3 + P*X + Q
とする
ここに、
簡約式 g(X) の根の状態が ２重根 で、
（既知の）２重根がX2、（未知の）それとは異なる実数根がX1 であるならば、
根と係数の関係式より
X1+2*X2 = 0
なので、残りの１根は、
X1 = -2*X2
であり、式(F-13) に代わり残りの１根を求めることが可能である
【注意】
簡約式 [g(Y)=Y3+PY+Q] の根の様子が、
・２重根 (β) と、それとは異なる実数根 (α) １つ
ならば、
簡約式（３次方程式）は、
g(Y)=(Y-α)(Y-β)(Y-β)
=Y3-(α+2β)*Y2+(2αβ+β2)*Y-αβ2
となり、
根と係数の関係式
(1) -(α+2β) = 0
(2) 2αβ+β2 = P
(3) -αβ2 = Q
を得る
２重根 または、それとは異なる実数根のどちらかが解れば、
他方の根を、(1)(2)(3) のどの関係式のからでも
求めることが出来るが、一般的には、
(3)の式で求める方が、精度（有効桁数）は良い
ただし、いくつかの条件が整えば、コストの面から
(3)の式で求めるより、
(1)や(2)の式で求める事の方がが良い（コストがかからない※）場合もある（と思われる）
※多倍長の計算などの場合
【具体例１】
探索中
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共役な複素数解 について
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共役な複素数解 の実数項と虚数項について
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３次方程式の根の様子でもっとも一般的な、
『１つの実根と２つの互いに共役な複素数』の場合の、
共役な複素数解 を、グラフ上から考察する
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簡約式の場合
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まず初めに、
簡約式 式(A-5)の（最も一般的な）
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F(X) |
= X3 + P*X + Q
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(G-1) |
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の、根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合の
共役な複素数解の実数項について考察する
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簡約式の根の様子が 『１つの実根と共役な複素数解』の場合のグラフの例を以下に示す
※各点のＸＹ座標値をそれぞれの添え字付で表す
（例 点E のX座標値 Ex、Y座標値 Ey）
変曲点ＭのＹ座標値が＋の場合
（Q > 0 の場合）
各点の座標値
Hx = √(-P/3) = -Gx [導関数の解より]
Fx = 2*Gx = -2*Hx [2重根(By=0)の場合より]
Fx - Ex = 2*(Ix - Hx) [曲線B-I-S〜 の定義より]
Kx - Jx = 2*(Sx - Rx) [曲線B-I-S〜 の定義より]
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判 例
O : 原点 (0,0)
F(X) : 簡約式 X3 + P*X + Q
F'(X) : 簡約式の導関数 3X2 + P
曲線B-I-S〜
: 曲線C-E-J〜 を 直線C-K で反転し幅を半分にしたもの
（S-R点間距離はJ-K点間距離の半分）
A : 簡約式 F(X) の極大点
B : −−〃−− の極小点
C : 点Bと同じY座標値を持つ点 （曲線A-E と 直線B-D の交点）
D : 点B から Y軸 に下ろした 垂線の点
M : 簡約式 F(X) の変曲点 （Ｙ接片なので (Mx,My)=(0,Q) [Q>0]）
N : 導関数 F'(X) の極小点 （Ｙ接片なので (Nx,Ny)=(0,P)) [P<0]）
E : 簡約式 F(X) と X軸の交点
（Exは、簡約式の実数解）
F : 点C から X軸 に下ろした 垂線の点
G : 点A から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 F'(X) とX軸の交点）
H : 点B から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 F'(X) とX軸の交点）
I : 曲線B-S〜 と X軸 の交点
（Ixは、簡約式の共役な複素数解の実数項）
L : Y座標値がマイナス値のY軸上の任意点
J : 簡約式 F(X) と 直線 Y=Lx の交点
K : 点C から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
R : 点B から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
S : 曲線B-I-S〜 と 直線 Y=Lx の交点
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変曲点ＭのＹ座標値が−の場合
（Q < 0 の場合）
各点の座標値
Hx = √(-P/3) = -Gx [導関数の解より]
Fx = 2*Gx = -2*Hx [2重根(By=0)の場合より]
Fx - Ex = 2*(Ix - Hx) [曲線B-I-S〜 の定義より]
Kx - Jx = 2*(Sx - Rx) [曲線B-I-S〜 の定義より]
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判 例
O : 原点 (0,0)
F(X) : 簡約式 X3 + P*X + Q
F'(X) : 簡約式の導関数 3X2 + P
曲線B-I-S〜
: 曲線C-E-J〜 を 直線C-K で反転し幅を半分にしたもの
（S-R点間距離はJ-K点間距離の半分）
A : 簡約式 F(X) の極大点
B : −−〃−− の極小点
C : 点Bと同じY座標値を持つ点 （曲線A-E と 直線B-D の交点）
D : 点B から Y軸 に下ろした 垂線の点
M : 簡約式 F(X) の変曲点 （Ｙ接片なので (Mx,My)=(0,Q) [Q<0]）
N : 導関数 F'(X) の極小点 （Ｙ接片なので (Nx,Ny)=(0,P)) [P<0]）
E : 簡約式 F(X) と X軸の交点
（Exは、簡約式の実数解）
F : 点C から X軸 に下ろした 垂線の点
G : 点A から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 F'(X) とX軸の交点）
H : 点B から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 F'(X) とX軸の交点）
I : 曲線B-S〜 と X軸 の交点
（Ixは、簡約式の共役な複素数解の実数項）
L : Y座標値がプラス値のY軸上の任意点
J : 簡約式 F(X) と 直線 Y=Lx の交点
K : 点C から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
R : 点B から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
S : 曲線B-I-S〜 と 直線 Y=Lx の交点
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グラフの解説
簡約式 F(X) は、根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』で
変曲点ＭのＹ座標値が＋（または−）の場合
簡約式 F(X) の極大点を 点Ａ、極小点を 点Ｂとして、
点Ｂを通る水平線と 簡約式 F(X) [<0（または>0）] との交点を 点Ｃ、
点Ｂを通る水平線と Ｙ軸の交点との交点を 点Ｄとする
さらに、
簡約式 F(X) と Ｘ軸の交点を 点Ｅ （簡約式 F(X) の実数根）、
点Ｃから Ｘ軸に下ろした垂線の交点を 点Ｆ、
同様に、点Ａ・点Ｂのそれぞれから Ｘ軸に下ろした垂線交点を 点Ｇ、点Ｈとする
さらに、点Ｇ・点Ｈは、導関数 F'(X) と Ｘ軸の交点でもあるので
導関数 の解より求めることも出来る
つぎに、
曲線B-I-S〜（下記参照） を作図して Ｘ軸の交点を 点Ｉとする
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曲線B-I-S〜 について
簡約式 F(X) の曲線C-E-J〜の部分を、直線C-K を基準にして幅を半分にし反転したものを
点Ｃを基準点にして、点Ｂへ複写したもの
簡約式 F(X) と曲線B-I-S〜をまとめて、
変曲点ＭをＹ軸上を上下に移動させたとき
曲線B-I-S〜 とＸ軸の交点Ｉ'のＸ座標値は、
移動させた 簡約式 FF(X) の共役な複素数解の実数項の値となる
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実数項 |
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上図 簡約式のグラフの 極小（大）点Ｂ と、
極小（大）点Ｂをとおる水平線との 交点Ｃ からそれぞれＸ軸に下ろした垂線のＸ座標値は、
簡約式の導関数の解より
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Hx |
= -Gx |
(G-2) |
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である
さらに、
Ｘ軸が B-C上にある場合（根の様子が２重根とそれとは異なる実数根１つ）を考慮すれば、
根と係数の関係式（※）より
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Cx |
= -2*Bx |
(G-3) |
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Fx |
= -2*Hx |
(G-4) |
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も、あきらかである
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※ |
簡約式 [g(Y)=Y3+PY+Q] の根の様子が、
『２重根 (β) と、それとは異なる実数根 (α) １つ』のとき
簡約式（２次の係数を消した３次方程式）を
g(Y) = (Y-α)(Y-β)(Y-β)
= Y3-(α+2β)*Y2+(2αβ+β2)*Y-αβ2
= Y3-(α+2β)*Y2+P*Y+Q
とすると、根と係数の関係式は
(1) -(α+2β) = 0
(2) 2αβ+β2 = P
(3) -αβ2 = Q
∴(1)より α = -2β
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上図 簡約式のグラフの 曲線B-I-S〜 は、
『簡約式 F(X) の曲線C-E-J〜の部分を、
直線C-K を基準にして幅を半分にし反転したものを、
点Ｃを基準点にして、点Ｂへ複写したもの』
なので、
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Ex - Fx = -2*(Ix - Hx) |
(G-5) |
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となり、
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Fx = -2*(Ix - Hx) |
(G-6) |
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となる
また、式(G-4) より
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Fx = -2*Hx |
(G-7) |
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となるので、両式の両辺をそれぞれ足して
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(Ex - Fx) + (Fx) = -2*(Ix - Hx) + (-2*Hx) |
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Ex + (-Fx + Fx) = -2*Ix + (2*Hx - 2*Hx) |
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Ex + (0) = -2*Ix + (0) |
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Ex = -2*Ix |
(G-8-1) |
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Ix = -Ex/2 |
(G-8-2) |
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となる
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上記の式 (G-8-2) は、
簡約式の 根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合、
実根と 共役な複素数根の実数項の、絶対値の比は常に、２：１
になるということである（※）
※２次の係数がないので、根と係数の関係式より当然の結果である
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ゆえに、
根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合、
グラフを書きさえすれば、（曲線B-I-S〜を追加しなくとも）
すべての実数項を、グラフより求めることが出来る
実際に、簡約式の共役な複素数解の実数項をグラフから求める手順は、
原点Ｏを中心とする、直径 D=Ex (半径 d=Ex/2)の円と、
Ｘ軸との交点２つのうち、点Ｅ（実根）から遠い方が共役な複素数解の実数項となる
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虚数項 |
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前述で、共役な複素数解の実数項が求まったので、
次に、共役な複素数解の虚数項を考える
３次方程式の根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合の各根を、
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とすると、３次方程式は、
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F(X) |
= (X-α)(X-(β+γi))(X-(β-γi))
= X3 - (α+(β+γi)+(β-γi))*X2 + (α(β+γi)+(β+γi)(β-γi)+(β-γi)α)*X - α(β+γi)(β-γi)
= X3 - (α+(β+β+γi-γi))*X2 + ((αβ+αγi)+(β*β-β*γi+γi*β-γi*γi)+(αβ-αγi))*X - α(β*β+β*γi-γi*β-γi*γi)
= X3 - (α+(2β+0))*X2 + (αβ+αβ+β*β+(αγi-αγi)+(γi*β-β*γi)-(γi*γi))*X - α(β*β+(β*γi-γi*β)-(γi*γi))
= X3 - (α+2β)*X2 + (2αβ+β2+(0)+(0)-(-γ2))*X - α(β2+(0)-(-γ2))
= X3 - (α+2β)*X2 + (2αβ+β2+γ2)*X - α(β2+γ2)
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= X3 - (α+2β)*X2 + (2αβ+β2+γ2)*X - (αβ2+αγ2)
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(G-9) |
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ここで、
簡約式（２次の係数がない式）を
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g(X) |
= X3 + P*X + Q
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(G-10) |
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とすると、
簡約式の根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合の
根と係数の関係式
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(1) |
α+2β = 0
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(G-11-1) |
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(2) |
2αβ+β2+γ2 = P |
(G-11-2) |
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(3) |
- (αβ2+αγ2) = Q |
(G-11-3) |
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を得る
よって、１つの実数根 α が解れば
式(G-11-1) より、共役な複素数根の実数項 β を求めることができる
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β |
= - α/2 |
(G-12) |
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さらに、
１つの実根 α と求めた β および 式(G-11-2) より
共役な複素数解の虚数項 γ を求めることができる
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γ |
= √{P - 2αβ - β2}
= √{P - 2α(-α/2) - (-α/2)2}
= √{P + α2 - α2/4}
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= √{P + 3α2/4}
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(G-13) |
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または 式(G-11-3) より
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γ |
= √{(-Q - αβ2)/α}
= √{(-Q - α(-α/2)2)/α}
= √{(-Q - α3/4)/α}
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= √{-Q/α - α2/4}
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(G-14) |
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この関係式にて、
両式のどちらからでも、虚数項を求めることが出来る
さらに、
両式は等しいので
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| √{P + 3α2/4} |
= √{-Q/α - α2/4} |
| P + 3α2/4 |
= -Q/α - α2/4 |
| 4Pα + 3α3 |
= -4Q - α3 |
| 4Pα + 3α3 + α3 |
= -4Q |
| 4Pα + 4α3 |
= -4Q |
| Pα + α3 |
= -Q |
| α3 + Pα + Q |
= 0 = F(α) |
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(G-14) |
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元の簡約式に帰着した
当然の結果ではあるが、
簡約式の １つの実根 α と 点Ｍ（のＹ座標値Ｍy=Q）、点Ｎ（のＹ座標値Ｎy=P）には関連があり、
簡約式の P を小さくすれば、
導関数とＸ軸の交点の 点Ｅ の位置（導関数の根）が 原点Ｏ から遠くなり、
簡約式の極大極小点の 点Ａ・点Ｂ の位置も Ｙ軸 から離れ、
１つの実根の 点Ｅ と共役な複素数根の実数項の 点Ｉ も、原点Ｏ から遠くなることが、
上記のグラフの例からも理解出来る
逆に、簡約式の Q （簡約式のＹ接片）を小さくしても、
Ｙ軸からの簡約式の極大極小点の位置（距離）は移動しないが、
簡約式のグラフが下方へ移動すれば、当然の結果として、
１つの実根の 点Ｅ と共役な複素数根の実数項の 点Ｉ は、原点Ｏ へ近づくことも、
同様に、上記のグラフの例から理解出来る
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任意の３次方程式の場合
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上記は、簡約式に限って解説したが、
任意の３次方程式の 根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合でも、
基本的な幾何（図形）的な関係は 変わらない
上記『簡約式の場合』（根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』）の簡約式 F(X) を、
Ｘ軸と平行に平行移動させれば、
根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の任意の３次方程式となる
たとえば、前述『簡約式の場合』の簡約式 F(X) を
Ｘ軸の＋方向に z (>0) だけ移動（※）させれば、以下のグラフとなる
※X=X-z で置き換えたこととなる
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H(X) |
= (X-z)3 + P*(X-z) + Q
= {(X-z)(X-z)(X-z)} + P*(X-z) + Q
= {(X2-2*zX+z2)(X-z)} + P*X - P*z + Q
= {(X2-2*zX+z2)X - z(X2-2*zX+z2)} + P*X - P*z + Q
= X3-2*z*X2+(z2)X - z*X2 + 2*z2X - z3 + P*X - P*z + Q
= X3 + (-2*z*X2 - z*X2) + ((z2)X + 2*z2X + P*X) - z3 - P*z + Q
= X3 - 3*z*X2 + (P+3z2)X - z3 - P*z + Q
= X3 - 3*z*X2 + (P + 3z2)X + (Q - P*z - z3)
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= X3 - 3zX2 + (P+3z2)X + (Q-Pz-z3)
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(H-1) |
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式(H-1) 【３次方程式 H(X)根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』】 の場合の
グラフの例(※)を以下に示す
※前述『簡約式の場合』（根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』）の
簡約式 F(X) をＸ軸の＋方向に z (>0) だけ移動させたもの
※※各点のＸＹ座標値をそれぞれの添え字付で表す
（例 点E のX座標値 Ex、Y座標値 Ey）
変曲点ＭのＹ座標値が＋の場合
（Q > 0 の場合）
各点の座標値
Hx-z = √(-P/3) = -(Gx-z) [導関数の解より]
Fx-z = 2*(Gx-z) = -2*(Hx-z) [2重根(By=0)の場合より]
Fx - Ex = 2*(Ix - Hx) [曲線B-I-S〜 の定義より]
Kx - Jx = 2*(Qx - Px) [曲線B-I-S〜 の定義より]
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判 例
O : (z,0)
H(X) : ３次方程式 X3 - zX2 + (P+z2-2z)X - (Pz-Q-2z2+z3)
H'(X) : 導関数 3X2 - 2zX + (P+z2-2z)
曲線B-I-S〜
: 曲線C-E-J〜 を 直線C-K で反転し幅を半分にしたもの
（R-S点間距離はJ-K点間距離の半分）
A : ３次方程式 H(X) の極大点
B : −−〃−− の極小点
C : 点Bと同じY座標値を持つ点 （曲線A-E と 直線B-D の交点）
D : 点B から Y軸 に下ろした 垂線の点
M : ３次方程式 H(X) の変曲点 （(Mx,My)=(z,Q) [Q>0]）
N : 導関数 H'(X) の極小点 （(Nx,Ny)=(z,P)) [P<0]）
E : ３次方程式 H(X) と X軸の交点
（Exは、３次方程式の実数解）
F : 点C から X軸 に下ろした 垂線の点
G : 点A から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 H'(X) とX軸の交点）
H : 点B から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 H'(X) とX軸の交点）
I : 曲線B-S〜 と X軸 の交点
（Ixは、３次方程式の共役な複素数解の実数項）
L : Y座標値がマイナス値のY軸上の任意点
J : ３次方程式 H(X) と 直線 Y=Lx の交点
K : 点C から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
P : 点B から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
Q : 曲線B-I-S〜 と 直線 Y=Lx の交点
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変曲点ＭのＹ座標値が−の場合
（Q < 0 の場合）
各点の座標値
Hx-z = √(-P/3) = -(Gx-z) [導関数の解より]
Fx-z = 2*(Gx-z) = -2*(Hx-z) [2重根(By=0)の場合より]
Fx - Ex = 2*(Ix - Hx) [曲線B-I-S〜 の定義より]
Kx - Jx = 2*(Qx - Px) [曲線B-I-S〜 の定義より]
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判 例
O : (z,0)
H(X) : ３次方程式 X3 - zX2 + (P+z2-2z)X - (Pz-Q-2z2+z3)
H'(X) : 導関数 3X2 - 2zX + (P+z2-2z)
曲線B-I-S〜
: 曲線C-E-J〜 を 直線C-K で反転し幅を半分にしたもの
（R-S点間距離はJ-K点間距離の半分）
A : ３次方程式 H(X) の極大点
B : −−〃−− の極小点
C : 点Bと同じY座標値を持つ点 （曲線A-E と 直線B-D の交点）
D : 点B から Y軸 に下ろした 垂線の点
M : ３次方程式 H(X) の変曲点 （(Mx,My)=(z,Q) [Q<0]）
N : 導関数 H'(X) の極小点 （(Nx,Ny)=(z,P)) [P<0]）
E : ３次方程式 H(X) と X軸の交点
（Exは、３次方程式の実数解）
F : 点C から X軸 に下ろした 垂線の点
G : 点A から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 H'(X) とX軸の交点）
H : 点B から X軸 に下ろした 垂線の点 （導関数 H'(X) とX軸の交点）
I : 曲線B-S〜 と X軸 の交点
（Ixは、３次方程式の共役な複素数解の実数項）
L : Y座標値がマイナス値のY軸上の任意点
J : ３次方程式 H(X) と 直線 Y=Lx の交点
K : 点C から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
P : 点B から 直線 Y=Lx に下ろした垂線の点
Q : 曲線B-I-S〜 と 直線 Y=Lx の交点
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実数項 |
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上図 任意の３次方程式のグラフの 極小（大）点Ｂ と、
極小（大）点Ｂをとおる水平線との 交点Ｃ からそれぞれＸ軸に下ろした垂線のＸ座標値は、
簡約式をＸ軸の＋方向に z (>0) だけ移動したことと、簡約式の導関数の解より
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Hx - z |
= -(Gx - z) |
(H-2) |
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Hx - z |
= -Gx + z |
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-z - z |
= -Gx - Hx |
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z + z |
= Gx + Hx |
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| |
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2z |
= Gx + Hx |
(H-2-1) |
| |
である
さらに、
Ｘ軸が B-C上にある場合（根の様子が２重根とそれとは異なる実数根１つ）を考慮すれば、
簡約式をＸ軸の＋方向に z (>0) だけ移動したことより、
（または、根と係数の関係式（※下記式(H-5-1)）より）
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Cx - z |
= -2*(Bx - z) |
(H-3) |
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Cx - z |
= -2Bx + 2z |
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-z - 2z |
= -2Bx - Cx |
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-3z |
= -(Cx + 2Bx) |
(H-3-1) |
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3z |
= Cx + 2Bx |
(H-3-2) |
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Fx- z |
= -2*(Hx - z) |
(H-4) |
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Fx- z |
= -2Hx + 2z |
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-z - 2z |
= -2Hx - Fx |
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-3z |
= -(Fx + 2Hx) |
(H-4-1) |
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3z |
= Fx + 2Hx |
(H-4-2) |
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も、あきらかである
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※ |
３次方程式 [g(Y)=Y3+AY2+BY+C] の根の様子が、
『２重根 (β) と、それとは異なる実数根 (α) １つ』のとき
３次方程式を
g(Y) = (Y-α)(Y-β)(Y-β)
= Y3-(α+2β)*Y2+(2αβ+β2)*Y-αβ2
= Y3+A*Y2+B*Y+C
とすると、根と係数の関係式は、
(1) -(α+2β) = A
(2) 2αβ+β2 = B
(3) -αβ2 = C
式(H-1) より、
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(1') -(α+2β) = - 3z |
(H-5-1) |
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(2') 2αβ+β2 = P+3z2 |
(H-5-2) |
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(3') -αβ2 = Q-Pz-z3 |
(H-5-3) |
| |
上図 簡約式のグラフの 曲線B-I-S〜 は、
『簡約式 F(X) の曲線C-E-J〜の部分を、
直線C-K を基準にして幅を半分にし反転したものを、
点Ｃを基準点にして、点Ｂへ複写したもの』
なので、
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Ex - Fx = -2*(Ix - Hx) |
(H-5) |
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となり、
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Fx = -2*(Ix - Hx) |
(H-6) |
| |
となる
また、式(H-4-2) より
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Fx = 3z - 2*Hx |
(H-7) |
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となるので、両式の両辺をそれぞれ足して
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(Ex - Fx) + (Fx) = 3z - 2*(Ix - Hx) + (-2*Hx) |
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Ex + (-Fx + Fx) = -2*Ix + (2*Hx - 2*Hx) + 3z |
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| |
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Ex + (0) = -2*Ix + (0) + 3z |
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| |
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Ex = -2*Ix + 3z |
(H-8-1) |
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-3z = -(Ex + 2*Ix) |
(H-8-2) |
| |
|
Ix = -(Ex + 3z)/2 |
(H-8-3) |
| |
となる
ゆえに、
根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合、
簡約式のグラフを書きさえすれば、（曲線B-I-S〜を追加しなくとも）
すべての実数項を、グラフより求めることが出来る
実際にグラフから求める手順は、
点Ｈを中心とする、直径 D=|Ex - Fx| の円と、
Ｘ軸の交点２つのうち、点Ｅ（実根）から遠い方が共役な複素数解の実数項となる
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| |
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| |
虚数項 |
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| |
前述で、共役な複素数解の実数項が求まったので、
次に、共役な複素数解の虚数項を考える
３次方程式の根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合の各根を、
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| |
|
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| |
とすると、３次方程式は、
|
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| |
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F(X) |
= (X-α)(X-(β+γi))(X-(β-γi))
= X3 - (α+(β+γi)+(β-γi))*X2 + (α(β+γi)+(β+γi)(β-γi)+(β-γi)α)*X - α(β+γi)(β-γi)
= X3 - (α+(β+β+γi-γi))*X2 + ((αβ+αγi)+(β*β-β*γi+γi*β-γi*γi)+(αβ-αγi))*X - α(β*β+β*γi-γi*β-γi*γi)
= X3 - (α+(2β+0))*X2 + (αβ+αβ+β*β+(αγi-αγi)+(γi*β-β*γi)-(γi*γi))*X - α(β*β+(β*γi-γi*β)-(γi*γi))
= X3 - (α+2β)*X2 + (2αβ+β2+(0)+(0)-(-γ2))*X - α(β2+(0)-(-γ2))
= X3 - (α+2β)*X2 + (2αβ+β2+γ2)*X - α(β2+γ2)
|
|
| |
|
|
= X3 - (α+2β)*X2 + (2αβ+β2+γ2)*X - (αβ2+αγ2)
|
(H-9) |
| |
ここで、
３次方程式を
|
|
| |
|
g(X) |
= X3 + A*X2 + B*X + C
|
(H-10) |
| |
とすると、
３次方程式の根の様子が『１つの実根と共役な複素数解』の場合の
根と係数の関係式
|
|
| |
|
(1) |
-(α+2β) = A
|
(H-11-1) |
| |
|
(2) |
2αβ+β2+γ2 = B |
(H-11-2) |
| |
|
(3) |
- (αβ2+αγ2) = C |
(H-11-3) |
| |
を得る
よって、１つの実数根 α が解れば
式(H-11-1) より、共役な複素数根の実数項 β を求めることができる
|
|
| |
|
β |
= -(α+A)/2 |
(H-12) |
| |
さらに、
１つの実根 α と求めた β および 式(H-11-2) より
共役な複素数解の虚数項 γ を求めることができる
|
|
| |
|
γ |
= √{B - 2αβ - β2}
= √{B - 2α(-(α+A)/2) - (-(α+A)/2)2}
= √{B + 2α((α+A)/2) - ((α+A)2/4)}
= √{B + α(α+A) - ((α2+2Aα+A2)/4)}
= √{B + α2 + Aα - α2/4 - 2Aα/4 - A2/4}
= √{B + (α2 - α2/4) + (Aα - Aα/2) - A2/4}
= √{B + 3α2/4 + Aα/2 - A2/4}
|
|
| |
|
|
= √{B + 3α2/4 + Aα/2 - A2/4}
|
(H-13) |
| |
または 式(H-11-3) より
|
|
| |
|
γ |
= √{(-C - αβ2)/α}
= √{(-C - α(-(α+A)/2)2)/α}
= √{(-C/α - (-(α+A)/2)2)}
= √{(-C/α - (α+A)2/4)}
|
|
| |
|
|
= √{-(C/α + (α+A)2/4)}
|
(H-14) |
| |
この関係式にて、
両式のどちらからでも、虚数項を求めることが出来る
さらに、
両式は等しいので
|
|
| |
|
|
| √{B + 3α2/4 + Aα/2 - A2/4} |
= √{-(C/α + (α+A)2/4)} |
| B + 3α2/4 + Aα/2 - A2/4 |
= -(C/α + (α+A)2/4) |
| 4B + 3α2 + 2Aα - A2 |
= -4C/α - (α+A)2 |
| 4B + 3α2 + 2Aα - A2 |
= -4C/α - α2 - 2Aα - A2 |
| 4Bα + 3α3 + 2Aα2 - A2α |
= -4C - α3 - 2Aα2 - A2α |
| (3α3 + α3) + (2Aα2 + 2Aα2) + (-A2α + 4Bα + A2α) + 4C |
= 0 |
| 4α3 + 4Aα2 + 4Bα + 4C |
= 0 |
| α3 + Aα2 + Bα + C |
= 0 = F(α) |
|
(H-14) |
| |
元の３次方程式に帰着した
|
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| |
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